Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3491
2017-05-21 
По горизонтальному столу может катиться без скольжения цилиндр массы $m$, на который намотана нить. К свободному концу нити, переброшенному через легкий блок, подвешен груз той же массы $m$ (рис.). Система предоставлена сама себе. Найти ускорение груза и силу трения между цилиндром и столом. Задачу решить для полого и сплошного цилиндров.
Решение:
Система состоит из двух тел — груза и цилиндра, связанных между собой. Поэтому между кинематическими параметрами этих тел существуют определенные соотношения. На груз действуют сила тяжести $m \vec{g}$ и сила натяжения нити:
$m \vec{a}_{1} = m \vec{g} + \vec{T}$, (1)
где $\vec{a}_{1}$ — ускорение груза, который, очевидно, совершает только поступательное движение.
На цилиндр действуют силы тяжести и нормальной реакции стола, взаимно компенсирующие друг друга, и в горизонтальном направлении — сила натяжения $\vec{T}^{ \prime}$ нити и сила трения $\vec{f}_{тр}$ между цилиндром и столом. Обе силы создают вращающие моменты относительно оси цилиндра (предполагаем, что нить намотана так, что обе силы действуют в одной вертикальной плоскости, перпендикулярной оси цилиндра и совпадающей с плоскостью рисунка). Следовательно, цилиндр совершает сложное плоское движение, уравнения которого
$m \vec{a}_{0} = \vec{T}^{ \prime} + \vec{f}_{тр}, J \vec{ \epsilon} = \vec{M}_{тр} = \vec{M}_{тр} + \vec{M}_{нат}$. (2)
Чтобы найти связь между $a_{1}, a_{0}$ и $\epsilon$, рассмотрим движение точек $M$ и $N$ цилиндра. Цилиндр участвует в двух движениях, и скорость любой его точки $\vec{v}_{i} = \vec{v}_{0} + \vec{u}$, где $\vec{v}_{0}$ — скорость центра масс, т. е. скорость поступательного движения; $\vec{u}_{i} = \omega \vec{r}_{i}$ — линейная скорость, обусловленная вращением вокруг центра масс. Для точек М и N в проекциях на ось X
$v_{Mx} = v_{0} + \omega r, v_{Nx} = v_{0} - \omega r$.
Продифференцируем эти уравнения:
$a_{Mx} = a_{0} + \epsilon r, a_{Nx} = a_{0} - \epsilon r$,
где $a_{Mx}$ и $a_{Nx}$ — проекции результирующего ускорения точек М и N на ось X. При отсутствии скольжения $v_{N} = 0$ и $v_{0} = \omega r$. Тогда
$a_{0} = \epsilon r$, (3)
а горизонтальная составляющая результирующего ускорения точки М
$a_{Mx} = a_{0} + \epsilon r = 2a_{0}$.
Если нить, связывающая цилиндр и груз, нерастяжима и не проскальзывает относительно цилиндра, то горизонтальная составляющая результирующего ускорения точки М цилиндра равна ускорению груза. Следовательно,
$a_{1} = 2a_{0}$. (4)
Очевидно, искомые величины могут быть найдены решением системы уравнений (1) и (2) с учетом соотношений (3) и (4). Однако уравнения (1) и (2) следует заменить скалярными соотношениями, а для этого необходимо знать направление силы трения.
Последняя является силой трения покоя, и направление ее противоположно вектору скорости точки $N$, которую она имела бы при отсутствии трения. Если начальная скорость равна нулю, то $\vec{v}_{N}$ направлена так же, как горизонтальная составляющая результирующего ускорения $\vec{a}_{N}$, когда трения нет. В этом случае цилиндр совершает сложное движение и
$a_{Nx} = a_{0} - \epsilon r$,
где $a_{0}$ и $\epsilon$ — соответственно ускорение центра масс и угловое ускорение цилиндра при отсутствии трения.
Таким образом, направление силы трения можно найти, рассмотрев предварительно задачу без учета силы трения.
Уравнения (2) движения цилиндра без трения примут вид
$m \vec{a}_{0} = \vec{T}^{ \prime}, J \vec{ \epsilon} = \vec{M}_{нат}$. (5)
Ускорение $\vec{a}_{0}$ и сила натяжения $\vec{T}^{ \prime}$ нити направлены по оси X; угловое ускорение е и момент силы натяжения нити $\vec{M}_{нат}$, также сонаправлены, поэтому уравнения (5) можно записать в скалярном виде:
$ma_{0} = T^{ \prime}, J \epsilon = T^{ \prime} r$. (6)
Запишем момент инерции цилиндра в виде $J = mbr^{2}$ (для полого цилиндра $b = 1$, для сплошного — $b = frac{1}{2}$) и подставим его в выражение (6):
$a_{0} = T^{ \prime}/ m, \epsilon r = T^{ \prime} /(bm)$.
Так как $b \leq 1$, то $a_{0} \leq \epsilon r$ и $a_{Nx} = a_{0} - \epsilon r < 0$. Если $a_{Nx} = 0$, то точка N цилиндра не будет скользить по поверхности стола (при любом значении силы $T^{ \prime}$) и трение не возникнет. Если $a_{Nx} < 0$, то сила трения направлена по оси X так, как показано на рисунке.
Коллинеарность сил, действующих на груз, позволяет переписать уравнение (1) в скалярном виде:
$ma_{1} = mg - T$.
Уравнениям (2) соответствуют скалярные соотношения
$ma_{0} = T^{ \prime} + f_{тр}, J \epsilon = T^{ \prime }r - f_{тр} r$. (8)
Второе из уравнений (8) соответствует тому, что, как и при отсутствии силы трения, цилиндр вращается по часовой стрелке.
Невесомость блока и нити позволяет считать силу натяжения вдоль всей нити постоянной по модулю, т. е. $T = T^{ \prime}$.
Учитывая соотношения (3) и (4), выражение для момента инерции и равенство сил натяжения, перепишем уравнения (7) и (8):
$ma_{1} = mg - T, ma_{1}/2 = T + f_{тр}, bmr^{2}a_{1} /(2R) = Tr - f_{тр}r$.
Сокращая последнее уравнение на $r$ и решая полученную систему совместно, находим
$a_{1} = 4g/(5 + b), f_{тр} = mg(1 - b)/(5 + b)$.
Для сплошного цилиндра имеем
$a_{1} = \frac{8}{11} g; f_{тр} = \frac{1}{11} mg$;
для полого цилиндра ($b = 1$)
$a_{1} = \frac{2}{3} g; f_{тр} = 0$.
По горизонтальному столу может катиться без скольжения цилиндр массы $m$, на который намотана нить. К свободному концу нити, переброшенному через легкий блок, подвешен груз той же массы $m$ (рис.). Система предоставлена сама себе. Найти ускорение груза и силу трения между цилиндром и столом. Задачу решить для полого и сплошного цилиндров.
Решение:
Система состоит из двух тел — груза и цилиндра, связанных между собой. Поэтому между кинематическими параметрами этих тел существуют определенные соотношения. На груз действуют сила тяжести $m \vec{g}$ и сила натяжения нити:
$m \vec{a}_{1} = m \vec{g} + \vec{T}$, (1)
где $\vec{a}_{1}$ — ускорение груза, который, очевидно, совершает только поступательное движение.
На цилиндр действуют силы тяжести и нормальной реакции стола, взаимно компенсирующие друг друга, и в горизонтальном направлении — сила натяжения $\vec{T}^{ \prime}$ нити и сила трения $\vec{f}_{тр}$ между цилиндром и столом. Обе силы создают вращающие моменты относительно оси цилиндра (предполагаем, что нить намотана так, что обе силы действуют в одной вертикальной плоскости, перпендикулярной оси цилиндра и совпадающей с плоскостью рисунка). Следовательно, цилиндр совершает сложное плоское движение, уравнения которого
$m \vec{a}_{0} = \vec{T}^{ \prime} + \vec{f}_{тр}, J \vec{ \epsilon} = \vec{M}_{тр} = \vec{M}_{тр} + \vec{M}_{нат}$. (2)
Чтобы найти связь между $a_{1}, a_{0}$ и $\epsilon$, рассмотрим движение точек $M$ и $N$ цилиндра. Цилиндр участвует в двух движениях, и скорость любой его точки $\vec{v}_{i} = \vec{v}_{0} + \vec{u}$, где $\vec{v}_{0}$ — скорость центра масс, т. е. скорость поступательного движения; $\vec{u}_{i} = \omega \vec{r}_{i}$ — линейная скорость, обусловленная вращением вокруг центра масс. Для точек М и N в проекциях на ось X
$v_{Mx} = v_{0} + \omega r, v_{Nx} = v_{0} - \omega r$.
Продифференцируем эти уравнения:
$a_{Mx} = a_{0} + \epsilon r, a_{Nx} = a_{0} - \epsilon r$,
где $a_{Mx}$ и $a_{Nx}$ — проекции результирующего ускорения точек М и N на ось X. При отсутствии скольжения $v_{N} = 0$ и $v_{0} = \omega r$. Тогда
$a_{0} = \epsilon r$, (3)
а горизонтальная составляющая результирующего ускорения точки М
$a_{Mx} = a_{0} + \epsilon r = 2a_{0}$.
Если нить, связывающая цилиндр и груз, нерастяжима и не проскальзывает относительно цилиндра, то горизонтальная составляющая результирующего ускорения точки М цилиндра равна ускорению груза. Следовательно,
$a_{1} = 2a_{0}$. (4)
Очевидно, искомые величины могут быть найдены решением системы уравнений (1) и (2) с учетом соотношений (3) и (4). Однако уравнения (1) и (2) следует заменить скалярными соотношениями, а для этого необходимо знать направление силы трения.
Последняя является силой трения покоя, и направление ее противоположно вектору скорости точки $N$, которую она имела бы при отсутствии трения. Если начальная скорость равна нулю, то $\vec{v}_{N}$ направлена так же, как горизонтальная составляющая результирующего ускорения $\vec{a}_{N}$, когда трения нет. В этом случае цилиндр совершает сложное движение и
$a_{Nx} = a_{0} - \epsilon r$,
где $a_{0}$ и $\epsilon$ — соответственно ускорение центра масс и угловое ускорение цилиндра при отсутствии трения.
Таким образом, направление силы трения можно найти, рассмотрев предварительно задачу без учета силы трения.
Уравнения (2) движения цилиндра без трения примут вид
$m \vec{a}_{0} = \vec{T}^{ \prime}, J \vec{ \epsilon} = \vec{M}_{нат}$. (5)
Ускорение $\vec{a}_{0}$ и сила натяжения $\vec{T}^{ \prime}$ нити направлены по оси X; угловое ускорение е и момент силы натяжения нити $\vec{M}_{нат}$, также сонаправлены, поэтому уравнения (5) можно записать в скалярном виде:
$ma_{0} = T^{ \prime}, J \epsilon = T^{ \prime} r$. (6)
Запишем момент инерции цилиндра в виде $J = mbr^{2}$ (для полого цилиндра $b = 1$, для сплошного — $b = frac{1}{2}$) и подставим его в выражение (6):
$a_{0} = T^{ \prime}/ m, \epsilon r = T^{ \prime} /(bm)$.
Так как $b \leq 1$, то $a_{0} \leq \epsilon r$ и $a_{Nx} = a_{0} - \epsilon r < 0$. Если $a_{Nx} = 0$, то точка N цилиндра не будет скользить по поверхности стола (при любом значении силы $T^{ \prime}$) и трение не возникнет. Если $a_{Nx} < 0$, то сила трения направлена по оси X так, как показано на рисунке.
Коллинеарность сил, действующих на груз, позволяет переписать уравнение (1) в скалярном виде:
$ma_{1} = mg - T$.
Уравнениям (2) соответствуют скалярные соотношения
$ma_{0} = T^{ \prime} + f_{тр}, J \epsilon = T^{ \prime }r - f_{тр} r$. (8)
Второе из уравнений (8) соответствует тому, что, как и при отсутствии силы трения, цилиндр вращается по часовой стрелке.
Невесомость блока и нити позволяет считать силу натяжения вдоль всей нити постоянной по модулю, т. е. $T = T^{ \prime}$.
Учитывая соотношения (3) и (4), выражение для момента инерции и равенство сил натяжения, перепишем уравнения (7) и (8):
$ma_{1} = mg - T, ma_{1}/2 = T + f_{тр}, bmr^{2}a_{1} /(2R) = Tr - f_{тр}r$.
Сокращая последнее уравнение на $r$ и решая полученную систему совместно, находим
$a_{1} = 4g/(5 + b), f_{тр} = mg(1 - b)/(5 + b)$.
Для сплошного цилиндра имеем
$a_{1} = \frac{8}{11} g; f_{тр} = \frac{1}{11} mg$;
для полого цилиндра ($b = 1$)
$a_{1} = \frac{2}{3} g; f_{тр} = 0$.
