Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3492
2017-05-21 
На скамье Жуковского сидит человек и держит в вытянутых руках гири по 10 кг каждая. Расстояние от каждой гири до оси вращения скамьи $l_{1} = 50 см$. Скамья вращается с частотой $n_{1} = 1 с^{-1}$. Как изменится частота вращения скамьи и какую работу произведет человек, если он сожмет руки так, что расстояние от каждой гири до оси уменьшится до $l_{2} = 20 см$? Суммарный момент инерции человека и скамьи относительно оси вращения $J_{0} = 2,5 кг \cdot м^{2}$. Ось вращения проходит через центр масс человека и скамьи.
Решение:
Частота вращения скамьи Жуковского изменяется в результате действий, производимых человеком при сближении гирь. (Предполагается, что человек не движется относительно скамьи.) Однако и характер движения гирь, и характер взаимодействия гирь с человеком, и человека со скамьей очень сложны. В системе тел скамья — человек — гири все эти силы являются внутренними и не изменяют ни импульса, ни момента импульса системы. Поскольку все тела системы совершают чисто вращательное движение вокруг одной и той же неподвижной оси, очевидно, следует рассматривать только момент импульса системы.
При перемещении гирь относительно оси вращения на систему скамья — человек — гири действуют внешние силы: силы реакции оси, линия действия которых проходит через ось; сила тяжести и сила нормальной реакции, параллельные оси вращения. Моменты всех этих внешних сил относительно вертикальной оси вращения скамьи равны нулю. (Для скамьи Жуковского силы трения в оси можно считать отсутствующими.) Следовательно, момент импульса этой системы остается постоянным:
$\vec{L}_{1} = \vec{L}_{2}, J_{1} \vec{ \omega}_{1}, J_{1} \vec{ \omega}_{1} = J_{2} \vec{ \omega}_{2}$, (1)
где $J_{1} \omega_{1}$ и $J_{2} \omega_{1}$ — моменты импульса системы соответственно до и после сближения гирь.
Такое выражение момента импульса системы возможно потому, что согласно условию все тела как до, так и после сближения вращаются с одинаковой угловой скоростью.
Все перечисленные внешние силы не создают вращающего момента относительно оси и, следовательно, не совершают работы. Поэтому изменение кинетической энергии системы равно работе, совершенной человеком:
$A_{ч} = K_{2} - K_{1} = J_{2} \omega_{2}^{2} / 2 - J_{1} \omega_{1}^{2} /2$. (2)
При этом следует оговорить, что гири движутся в одной горизонтальной плоскости и потенциальная энергия их не изменяется.
Перепишем векторное уравнение (1) в скалярном виде:
$J_{1} \omega_{1} = J_{2} \omega_{2}$. (3)
До сближения гирь момент инерции всей системы
$J_{1} = J_{0} + 2ml_{1}^{2}$;
после сближения
$J_{2} = J_{0} + 2ml_{2}^{2}$,
где $m$ — масса каждой гири.
Выражая угловую скорость через частоту вращения по формуле $\omega = 2 \pi n$ и подставляя ее в уравнение (3), получаем
$(J_{0} + 2ml_{1}^{2})n_{1} = (J_{0} + 2ml_{2}^{2} )n_{2}$,
откуда
$n_{2} = n_{1} (J_{0} + 2ml_{1}^{2})/(J_{0} + 2ml_{2}^{2}) = 2,3 с^{-1}$.
Работу, совершенную человеком, рассчитаем по формуле (2). Учитывая, что $\omega_{2} = J_{1} \omega_{1}^{2}/J_{2}$, находим:
$A_{ч} = \frac{J_{1} \omega_{1}^{2}}{2} \left ( \frac{J_{1}}{J_{2}} - 1 \right ) = \frac{J_{1} \omega_{1}^{2}}{2J_{2}} (J_{1} - J_{2})$,
$A_{ч} = \frac{J_{0} + 2ml_{1}^{2}}{J_{0} + 2ml_{2}^{2}} \cdot 2 \pi^{2} n_{1}^{2} \cdot 2 m (l_{1}^{2} - l_{2}^{2}) = 190 Дж$.
Таким образом, при сближении гирь, т. е. при уменьшении момента инерции системы, человек совершает положительную работу, и кинетическая энергия системы возрастает.
На скамье Жуковского сидит человек и держит в вытянутых руках гири по 10 кг каждая. Расстояние от каждой гири до оси вращения скамьи $l_{1} = 50 см$. Скамья вращается с частотой $n_{1} = 1 с^{-1}$. Как изменится частота вращения скамьи и какую работу произведет человек, если он сожмет руки так, что расстояние от каждой гири до оси уменьшится до $l_{2} = 20 см$? Суммарный момент инерции человека и скамьи относительно оси вращения $J_{0} = 2,5 кг \cdot м^{2}$. Ось вращения проходит через центр масс человека и скамьи.
Решение:
Частота вращения скамьи Жуковского изменяется в результате действий, производимых человеком при сближении гирь. (Предполагается, что человек не движется относительно скамьи.) Однако и характер движения гирь, и характер взаимодействия гирь с человеком, и человека со скамьей очень сложны. В системе тел скамья — человек — гири все эти силы являются внутренними и не изменяют ни импульса, ни момента импульса системы. Поскольку все тела системы совершают чисто вращательное движение вокруг одной и той же неподвижной оси, очевидно, следует рассматривать только момент импульса системы.
При перемещении гирь относительно оси вращения на систему скамья — человек — гири действуют внешние силы: силы реакции оси, линия действия которых проходит через ось; сила тяжести и сила нормальной реакции, параллельные оси вращения. Моменты всех этих внешних сил относительно вертикальной оси вращения скамьи равны нулю. (Для скамьи Жуковского силы трения в оси можно считать отсутствующими.) Следовательно, момент импульса этой системы остается постоянным:
$\vec{L}_{1} = \vec{L}_{2}, J_{1} \vec{ \omega}_{1}, J_{1} \vec{ \omega}_{1} = J_{2} \vec{ \omega}_{2}$, (1)
где $J_{1} \omega_{1}$ и $J_{2} \omega_{1}$ — моменты импульса системы соответственно до и после сближения гирь.
Такое выражение момента импульса системы возможно потому, что согласно условию все тела как до, так и после сближения вращаются с одинаковой угловой скоростью.
Все перечисленные внешние силы не создают вращающего момента относительно оси и, следовательно, не совершают работы. Поэтому изменение кинетической энергии системы равно работе, совершенной человеком:
$A_{ч} = K_{2} - K_{1} = J_{2} \omega_{2}^{2} / 2 - J_{1} \omega_{1}^{2} /2$. (2)
При этом следует оговорить, что гири движутся в одной горизонтальной плоскости и потенциальная энергия их не изменяется.
Перепишем векторное уравнение (1) в скалярном виде:
$J_{1} \omega_{1} = J_{2} \omega_{2}$. (3)
До сближения гирь момент инерции всей системы
$J_{1} = J_{0} + 2ml_{1}^{2}$;
после сближения
$J_{2} = J_{0} + 2ml_{2}^{2}$,
где $m$ — масса каждой гири.
Выражая угловую скорость через частоту вращения по формуле $\omega = 2 \pi n$ и подставляя ее в уравнение (3), получаем
$(J_{0} + 2ml_{1}^{2})n_{1} = (J_{0} + 2ml_{2}^{2} )n_{2}$,
откуда
$n_{2} = n_{1} (J_{0} + 2ml_{1}^{2})/(J_{0} + 2ml_{2}^{2}) = 2,3 с^{-1}$.
Работу, совершенную человеком, рассчитаем по формуле (2). Учитывая, что $\omega_{2} = J_{1} \omega_{1}^{2}/J_{2}$, находим:
$A_{ч} = \frac{J_{1} \omega_{1}^{2}}{2} \left ( \frac{J_{1}}{J_{2}} - 1 \right ) = \frac{J_{1} \omega_{1}^{2}}{2J_{2}} (J_{1} - J_{2})$,
$A_{ч} = \frac{J_{0} + 2ml_{1}^{2}}{J_{0} + 2ml_{2}^{2}} \cdot 2 \pi^{2} n_{1}^{2} \cdot 2 m (l_{1}^{2} - l_{2}^{2}) = 190 Дж$.
Таким образом, при сближении гирь, т. е. при уменьшении момента инерции системы, человек совершает положительную работу, и кинетическая энергия системы возрастает.
