Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3497
2017-05-21 
Тонкий однородный стержень длины $l = 1 м$ может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, отстоящей на расстоянии $x = 20 см$ от его середины (рис.). Определить период колебаний стержня, если максимальный угол отклонения от положения равновесия $\phi \leq 8^{ \circ}$. Как зависит период колебаний от расстояния $x$? Построить примерный график зависимости $T(x)$.
Решение:
Твердое тело совершает колебания около положения равновесия. Определить период его колебаний можно только в случае, если колебания гармонические. Так как стержень вращается относительно закрепленной оси, то его колебания будут гармоническими, если угловое ускорение стержня $\epsilon = d^{2} \phi/d t^{2}$ и угловое смещение $\phi$ от положения равновесия связаны соотношением
$d^{2} \phi / dt^{2} = - b \phi$. (1)
В этом случае коэффициент пропорциональности $b$ равен квадрату циклической частоты $\omega^{2}$ возникших гармонических колебаний, а период колебаний
$T = 2 \pi/ \omega = 2 \pi/ \sqrt{b}$. (2)
Во все время движения на стержень действуют сила тяжести $mg$ и сила реакции оси. Вращающий момент относительно оси создает только сила тяжести. Как видно из рисунка, момент силы тяжести
$M = mgx \sin \phi$.
Если ввести ось Z, то проекция момента на эту ось отрицательна.
По условию задачи, угол $\phi \leq 8^{ \circ}$, следовательно (с точностью до 1%), $\sin \phi = \phi$ (на рисунке угол $\phi$ для наглядности показан большим). Тогда
$M_{z} = - mgx \phi$. (3)
В положении, показанном на рисунке, $\phi > 0$, тогда как $M_{z} < 0$. При отклонении стержня в противоположную сторону $\phi < 0$, проекция момента силы $M_{z} > 0$.
Таким образом, момент силы, действующей на стержень (следовательно, и угловое ускорение), прямо пропорционален угловому смещению и поворачивает стержень к положению равновесия, что является условием гармонических колебаний. Период колебаний, а также характер зависимости периода от расстояния х можно определить из основного уравнения динамики вращательного движения и уравнений (1)-(3).
Согласно основному уравнению динамики вращательного движения и равенству (3),
$J \frac{d^{2} \phi}{dt^{2}} = - mg x \phi$. (4)
Здесь $J$ — момент инерции стержня. По теореме Штейнера, $J = J_{0} + mx^{2}$, где $J_{0} = ml^{2}/12$ — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс стержня.
Подставляя выражение $J$ в уравнение (4), получаем
$\frac{d^{2} \phi}{ dt^{2}} = - \frac{mgx}{J_{0} + mx^{2}} \phi$. (5)
Сравнивая уравнение (5) с (1) и (2), находим, что период колебаний стержня
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{J_{0} + mx^{2}}{mgx}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l^{2}/12 + x^{2}}{gx}} = 1,58 с$. (6)
Рассмотрим теперь характер зависимости $T(x)$. По условию, х изменяется от 0 до $l/2$. При $x = 0 T \rightarrow \infty$, т, е. стержень находится в состоянии безразличного равновесия и не совершает колебаний.
Чтобы определить характер графика $T(x)$, надо найти точки Экстремума, для чего вычислим первую производную:
$\frac{dT}{dx} = \frac{ \pi}{ \sqrt{g}} \sqrt{ \frac{x}{l^{2} / 12 + x^{2}}} \cdot \frac{x^{2} - l^{2} / 12}{x^{2}}$,
откуда $dT/dx = 0$ при $x = l/ \sqrt{12}$. Тогда
$T(l / \sqrt{12}) = T_{min} = 1,52 с$.
Период $T$ монотонно убывает при возрастании х от 0 до $l/ \sqrt{12}$. При наибольшем значении $x = l/2$ период колебаний [см. (6)] $T = 1,63 с$. График зависимости $T(x)$ приведен на рис..
Тонкий однородный стержень длины $l = 1 м$ может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, отстоящей на расстоянии $x = 20 см$ от его середины (рис.). Определить период колебаний стержня, если максимальный угол отклонения от положения равновесия $\phi \leq 8^{ \circ}$. Как зависит период колебаний от расстояния $x$? Построить примерный график зависимости $T(x)$.
Решение:
Твердое тело совершает колебания около положения равновесия. Определить период его колебаний можно только в случае, если колебания гармонические. Так как стержень вращается относительно закрепленной оси, то его колебания будут гармоническими, если угловое ускорение стержня $\epsilon = d^{2} \phi/d t^{2}$ и угловое смещение $\phi$ от положения равновесия связаны соотношением
$d^{2} \phi / dt^{2} = - b \phi$. (1)
В этом случае коэффициент пропорциональности $b$ равен квадрату циклической частоты $\omega^{2}$ возникших гармонических колебаний, а период колебаний
$T = 2 \pi/ \omega = 2 \pi/ \sqrt{b}$. (2)
Во все время движения на стержень действуют сила тяжести $mg$ и сила реакции оси. Вращающий момент относительно оси создает только сила тяжести. Как видно из рисунка, момент силы тяжести
$M = mgx \sin \phi$.
Если ввести ось Z, то проекция момента на эту ось отрицательна.
По условию задачи, угол $\phi \leq 8^{ \circ}$, следовательно (с точностью до 1%), $\sin \phi = \phi$ (на рисунке угол $\phi$ для наглядности показан большим). Тогда
$M_{z} = - mgx \phi$. (3)
В положении, показанном на рисунке, $\phi > 0$, тогда как $M_{z} < 0$. При отклонении стержня в противоположную сторону $\phi < 0$, проекция момента силы $M_{z} > 0$.
Таким образом, момент силы, действующей на стержень (следовательно, и угловое ускорение), прямо пропорционален угловому смещению и поворачивает стержень к положению равновесия, что является условием гармонических колебаний. Период колебаний, а также характер зависимости периода от расстояния х можно определить из основного уравнения динамики вращательного движения и уравнений (1)-(3).
Согласно основному уравнению динамики вращательного движения и равенству (3),
$J \frac{d^{2} \phi}{dt^{2}} = - mg x \phi$. (4)
Здесь $J$ — момент инерции стержня. По теореме Штейнера, $J = J_{0} + mx^{2}$, где $J_{0} = ml^{2}/12$ — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс стержня.
Подставляя выражение $J$ в уравнение (4), получаем
$\frac{d^{2} \phi}{ dt^{2}} = - \frac{mgx}{J_{0} + mx^{2}} \phi$. (5)
Сравнивая уравнение (5) с (1) и (2), находим, что период колебаний стержня
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{J_{0} + mx^{2}}{mgx}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l^{2}/12 + x^{2}}{gx}} = 1,58 с$. (6)
Рассмотрим теперь характер зависимости $T(x)$. По условию, х изменяется от 0 до $l/2$. При $x = 0 T \rightarrow \infty$, т, е. стержень находится в состоянии безразличного равновесия и не совершает колебаний.
Чтобы определить характер графика $T(x)$, надо найти точки Экстремума, для чего вычислим первую производную:
$\frac{dT}{dx} = \frac{ \pi}{ \sqrt{g}} \sqrt{ \frac{x}{l^{2} / 12 + x^{2}}} \cdot \frac{x^{2} - l^{2} / 12}{x^{2}}$,
откуда $dT/dx = 0$ при $x = l/ \sqrt{12}$. Тогда
$T(l / \sqrt{12}) = T_{min} = 1,52 с$.
Период $T$ монотонно убывает при возрастании х от 0 до $l/ \sqrt{12}$. При наибольшем значении $x = l/2$ период колебаний [см. (6)] $T = 1,63 с$. График зависимости $T(x)$ приведен на рис..
