Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3494
2017-05-21 
Тонкая прямоугольная пластина может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси $aa^{ \prime}$, совпадающей с одной из ее коротких сторон (рис.). Длинная сторона $b = 0,6 м$. В точку, находящуюся ниже оси вращения на расстоянии $x = 0,5 м$, ударяет пуля массы $m_{1} = 10 г$, летевшая горизонтально перпендикулярно пластине со скоростью $v = 200 м/с$. Масса пластины $m_{2} = 8 кг$, момент инерции относительно заданной оси $J = \frac{1}{3} m_{2} b^{2}$. Какую угловую скорость приобретает пластина, если удар абсолютно упругий? При каком значении х в момент удара не возникнет горизонтальная сила реакции оси, действующая на пластину?
Решение:
Пластина приобретает скорость в результате удара пули, поэтому целесообразно рассматривать систему тел пластина — пуля. Внешними по отношению к этой системе являются сила тяжести и вертикальная сила реакции оси, не изменяющие импульса системы. Однако во время взаимодействия пули с пластиной возникает еще горизонтальная сила реакции оси, очевидно тем большая, чем больше сила удара.
Следовательно, импульс системы не постоянен, и изменение импульса системы $\Delta \vec{p}_{c}$ определяется действием только этой горизонтальной внешней силы:
$\Delta \vec{p}_{c} = \langle \vec{F} \rangle \Delta t$, (1)
где $\langle \vec{F} \rangle$ — среднее за время удара $\Delta t$ значение горизонтальной силы реакции оси.
Так как время удара очень мало, то можно считать, что пластина не успеет отклониться от вертикального положения и импульс системы как до удара, так и сразу после удара направлен горизонтально.
Однако моменты всех внешних сил относительно заданной оси равны нулю и момент импульса системы остается постоянным:
$\vec{L}_{I} = \vec{L}_{II}$ (2)
Момент импульса системы до удара равен моменту импульса пули $\vec{L}_{1} = \vec{r} \times m_{1} \vec{v}$. Момент импульса системы после удара $\vec{L}_{II} = J \vec{ \omega} + \vec{r} \times m_{1} \vec{u}$, где $\vec{ \omega}$ — искомая угловая скорость пластины; $\vec{u}$ — скорость пули после удара, направленная в сторону, противоположную первоначальному движению пули (удар упругий, а масса пластины велика по сравнению с массой пули). Подставляя выражения $\vec{L}_{1}$ и $\vec{L}_{II}$ в уравнение (2), получаем
$\vec{r} \times m_{1} \vec{v} = J \vec{ \omega} + \vec{r} \times m_{1} \vec{u}$. (3)
При абсолютно упругом ударе кинетическая энергия системы остается постоянной:
$K_{I} = K_{II}, m_{1}v^{2}/2 = m_{1}u^{2}/2 + J \omega^{2}/2$. (4)
Уравнения (3) и (4) позволяют найти угловую скорость пластины сразу после удара. Тогда из уравнения (1) можно определить, при каком значении х горизонтальная сила реакции оси равна нулю.
Чтобы от векторного равенства (3) перейти к скалярным соотношениям, введем оси координат. Проекции векторов $\vec{L}_{1} = \vec{r} \times m_{1} \vec{v}$ и $J \vec{ \omega}$ на ось 2, совпадающую с осью вращения, положительны; причем, как видно из рисунка,
$rv \sin ( \hat{ \vec{r}, \vec{v}} ) = rv \sin \alpha = xv$
и $L_{I2} = xm_{1}v$. Проекция вектора $\vec{r} \times m_{1} \vec{u}$ на эту же ось отрицательна и равна $- xm_{1} u$. Тогда [см. (3)]
$xm_{1}v = J \omega - xm_{1} u$. (5)
Уравнения (4) и (5) образуют систему, совместное решение которой позволяет найти искомую угловую скорость:
$\omega = 2m_{1}vx/( J + m_{1}x^{2})$. (6)
Совместное решение уравнений (5) и (4) часто вызывает затруднения, поэтому приводим краткое пояснение к решению. Перепишем оба уравнения так, чтобы в левой части оказались только члены, относящиеся к телу $m_{1}$:
$m_{1} (v^{2} - u^{2}) = J \omega^{2}, xm_{1} (v + u) = J \omega$. (7)
Разделив почленно первое из уравнений (7) на второе и умножив на х, получим
$v - u = \omega x$. (8)
Домножим уравнение (8) на $m_{1}x$ и сложим это уравнение со вторым из уравнений (7):
$m_{1}vx - m_{1}ux = m_{1} \omega x^{2}$
+
$m_{1}vx + m_{1} ux = J \omega$
-------------
$2m_{1}vx = \omega ( J + m_{1} x^{2})$
Очевидно, при расчете величиной $m_{1}x^{2}$ по сравнению с $J$ можно пренебречь. Тогда, учитывая, что $J = m_{2}b^{2}/3$, по формуле (6) находим
$\omega = \frac{2m_{1}vx}{m_{2}b^{2}/3} = 2,1 с^{-1}$.
Чтобы определить, при каком условии не возникает горизонтальная сила реакции оси, следует перейти от векторного равенства (1) к скалярным соотношениям, определив импульсы системы до и после удара.
До удара $\vec{p}_{I} = m_{1} \vec{v}$. Проекции на горизонтальные оси ОY и 0Z:
$p_{1y} = m_{1}v, p_{1z} = 0$.
После удара $\vec{p}_{II} = m_{2} \vec{u}_{0} + m_{1} \vec{u}$, где $\vec{u}_{0}$ — скорость центра масс пластины. Проекции на те же оси
$p_{IIy} = m_{2} \omega^{b}/2 - m_{1}u, p_{IIz} = 0$.
Тогда векторному равенству (1) соответствует одно скалярное
$p_{IIy} - p_{Iy} = \langle F_{y} \rangle \Delta t$.
Очевидно, $\langle F_{y} \rangle$ (а следовательно, и $\langle \vec{F} \rangle$ равна нулю, если $p_{IIy} =p_{Iy}$. Переписывая это условие в явном виде, получаем
$m_{2} \omega b/2 - m_{1}u = m_{1}v$.
Это равенство и есть условие, при котором не возникает горизонтальной реакции оси и импульс системы не изменяется. Перепишем его в виде
$m_{2} \omega b/2 = m_{1}v + m_{1}u$. (9)
Правую часть этого равенства можно выразить из уравнения (5), согласно которому
$m_{1}v + m_{1}u = J \omega /x$. (10)
Подставив выражение момента инерции пластины в (10), получим $m_{1}v + m_{1}u = m \omega b^{2}/(3x)$. Тогда условие (9) примет вид $m \omega b/2 = m \omega b^{2} /(3x)$, откуда
$x = 2b/3$.
Если пуля попадает в точку, лежащую на расстоянии $x = 2b/3$ от оси вращения, то горизонтальная сила реакции оси не возникает.
Если $x > 2b/3$, то $p_{2y} > p_{1y}$. Следовательно, $\langle F_{y} \rangle \Delta t > 0$, т. е. возникающая горизонтальная сила реакции оси будет направлена по оси ОY — по движению пули.
Как видно из решения, длина стороны пластины, с которой совпадает ось вращения, не влияет на результат.
Тонкая прямоугольная пластина может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси $aa^{ \prime}$, совпадающей с одной из ее коротких сторон (рис.). Длинная сторона $b = 0,6 м$. В точку, находящуюся ниже оси вращения на расстоянии $x = 0,5 м$, ударяет пуля массы $m_{1} = 10 г$, летевшая горизонтально перпендикулярно пластине со скоростью $v = 200 м/с$. Масса пластины $m_{2} = 8 кг$, момент инерции относительно заданной оси $J = \frac{1}{3} m_{2} b^{2}$. Какую угловую скорость приобретает пластина, если удар абсолютно упругий? При каком значении х в момент удара не возникнет горизонтальная сила реакции оси, действующая на пластину?
Решение:
Пластина приобретает скорость в результате удара пули, поэтому целесообразно рассматривать систему тел пластина — пуля. Внешними по отношению к этой системе являются сила тяжести и вертикальная сила реакции оси, не изменяющие импульса системы. Однако во время взаимодействия пули с пластиной возникает еще горизонтальная сила реакции оси, очевидно тем большая, чем больше сила удара.
Следовательно, импульс системы не постоянен, и изменение импульса системы $\Delta \vec{p}_{c}$ определяется действием только этой горизонтальной внешней силы:
$\Delta \vec{p}_{c} = \langle \vec{F} \rangle \Delta t$, (1)
где $\langle \vec{F} \rangle$ — среднее за время удара $\Delta t$ значение горизонтальной силы реакции оси.
Так как время удара очень мало, то можно считать, что пластина не успеет отклониться от вертикального положения и импульс системы как до удара, так и сразу после удара направлен горизонтально.
Однако моменты всех внешних сил относительно заданной оси равны нулю и момент импульса системы остается постоянным:
$\vec{L}_{I} = \vec{L}_{II}$ (2)
Момент импульса системы до удара равен моменту импульса пули $\vec{L}_{1} = \vec{r} \times m_{1} \vec{v}$. Момент импульса системы после удара $\vec{L}_{II} = J \vec{ \omega} + \vec{r} \times m_{1} \vec{u}$, где $\vec{ \omega}$ — искомая угловая скорость пластины; $\vec{u}$ — скорость пули после удара, направленная в сторону, противоположную первоначальному движению пули (удар упругий, а масса пластины велика по сравнению с массой пули). Подставляя выражения $\vec{L}_{1}$ и $\vec{L}_{II}$ в уравнение (2), получаем
$\vec{r} \times m_{1} \vec{v} = J \vec{ \omega} + \vec{r} \times m_{1} \vec{u}$. (3)
При абсолютно упругом ударе кинетическая энергия системы остается постоянной:
$K_{I} = K_{II}, m_{1}v^{2}/2 = m_{1}u^{2}/2 + J \omega^{2}/2$. (4)
Уравнения (3) и (4) позволяют найти угловую скорость пластины сразу после удара. Тогда из уравнения (1) можно определить, при каком значении х горизонтальная сила реакции оси равна нулю.
Чтобы от векторного равенства (3) перейти к скалярным соотношениям, введем оси координат. Проекции векторов $\vec{L}_{1} = \vec{r} \times m_{1} \vec{v}$ и $J \vec{ \omega}$ на ось 2, совпадающую с осью вращения, положительны; причем, как видно из рисунка,
$rv \sin ( \hat{ \vec{r}, \vec{v}} ) = rv \sin \alpha = xv$
и $L_{I2} = xm_{1}v$. Проекция вектора $\vec{r} \times m_{1} \vec{u}$ на эту же ось отрицательна и равна $- xm_{1} u$. Тогда [см. (3)]
$xm_{1}v = J \omega - xm_{1} u$. (5)
Уравнения (4) и (5) образуют систему, совместное решение которой позволяет найти искомую угловую скорость:
$\omega = 2m_{1}vx/( J + m_{1}x^{2})$. (6)
Совместное решение уравнений (5) и (4) часто вызывает затруднения, поэтому приводим краткое пояснение к решению. Перепишем оба уравнения так, чтобы в левой части оказались только члены, относящиеся к телу $m_{1}$:
$m_{1} (v^{2} - u^{2}) = J \omega^{2}, xm_{1} (v + u) = J \omega$. (7)
Разделив почленно первое из уравнений (7) на второе и умножив на х, получим
$v - u = \omega x$. (8)
Домножим уравнение (8) на $m_{1}x$ и сложим это уравнение со вторым из уравнений (7):
$m_{1}vx - m_{1}ux = m_{1} \omega x^{2}$
+
$m_{1}vx + m_{1} ux = J \omega$
-------------
$2m_{1}vx = \omega ( J + m_{1} x^{2})$
Очевидно, при расчете величиной $m_{1}x^{2}$ по сравнению с $J$ можно пренебречь. Тогда, учитывая, что $J = m_{2}b^{2}/3$, по формуле (6) находим
$\omega = \frac{2m_{1}vx}{m_{2}b^{2}/3} = 2,1 с^{-1}$.
Чтобы определить, при каком условии не возникает горизонтальная сила реакции оси, следует перейти от векторного равенства (1) к скалярным соотношениям, определив импульсы системы до и после удара.
До удара $\vec{p}_{I} = m_{1} \vec{v}$. Проекции на горизонтальные оси ОY и 0Z:
$p_{1y} = m_{1}v, p_{1z} = 0$.
После удара $\vec{p}_{II} = m_{2} \vec{u}_{0} + m_{1} \vec{u}$, где $\vec{u}_{0}$ — скорость центра масс пластины. Проекции на те же оси
$p_{IIy} = m_{2} \omega^{b}/2 - m_{1}u, p_{IIz} = 0$.
Тогда векторному равенству (1) соответствует одно скалярное
$p_{IIy} - p_{Iy} = \langle F_{y} \rangle \Delta t$.
Очевидно, $\langle F_{y} \rangle$ (а следовательно, и $\langle \vec{F} \rangle$ равна нулю, если $p_{IIy} =p_{Iy}$. Переписывая это условие в явном виде, получаем
$m_{2} \omega b/2 - m_{1}u = m_{1}v$.
Это равенство и есть условие, при котором не возникает горизонтальной реакции оси и импульс системы не изменяется. Перепишем его в виде
$m_{2} \omega b/2 = m_{1}v + m_{1}u$. (9)
Правую часть этого равенства можно выразить из уравнения (5), согласно которому
$m_{1}v + m_{1}u = J \omega /x$. (10)
Подставив выражение момента инерции пластины в (10), получим $m_{1}v + m_{1}u = m \omega b^{2}/(3x)$. Тогда условие (9) примет вид $m \omega b/2 = m \omega b^{2} /(3x)$, откуда
$x = 2b/3$.
Если пуля попадает в точку, лежащую на расстоянии $x = 2b/3$ от оси вращения, то горизонтальная сила реакции оси не возникает.
Если $x > 2b/3$, то $p_{2y} > p_{1y}$. Следовательно, $\langle F_{y} \rangle \Delta t > 0$, т. е. возникающая горизонтальная сила реакции оси будет направлена по оси ОY — по движению пули.
Как видно из решения, длина стороны пластины, с которой совпадает ось вращения, не влияет на результат.
