Предположим, что $a - 1$ и $a + 1$ - простые числа (такая пара называется простыми близнецами), большие 10. Докажите, что $a^{3} - 4a$ делится на 120.
Подробнее
Найдите наибольшее возможное число пересечений диагоналей плоского выпуклого $n$-угольника.
Подробнее
Каждая буква следующего криптарифма поставлена вместо вполне определенной десятичной цифры:
$3(BIDFOR) = 4(FORBID)$.
Восстановите исходную запись.
Подробнее
Палка длиной $d$ помещена в полусферический чан диаметром $d$. Пренебрегая толщиной палки и считая, что сила трения отсутствует, определите угол, который палка будет составлять с диаметром в положении равновесия.
Подробнее
В треугольнике со сторонами $a, b, v$ прямая, соединяющая центр тяжести с центром вписанной окружности, перпендикулярна биссектрисе угла, противолежащего стороне $c$. Покажите, что среднее арифметическое чисел $a, b, v$ равно среднему гармоническому чисел $a$ и $b$.
Подробнее
Пусть шахматная доска состоит из квадратов со стороной, равной 4. Пусть, далее, на эту доску бросают правильный $4n$-угольник «радиуса» 1. Определите вероятность того, что этот многоугольник пересечет сторону какого-либо квадрата.
Подробнее
Докажите, что длины двух катетов прямоугольного треугольника с целочисленными сторонами не могут выражаться простыми числами-близнецами.
Подробнее
Повариха печет лепешки па круглой сковороде, диаметр которой равен 26 единицам. Она кладет три круглых куска теста разных размеров так, что их центры лежат на одной прямой и вместе они покрывают весь диаметр сковороды, но - только половину ее площади. Найдите диаметры трех лепешек, если известно, что они выражаются целыми числами.
Подробнее
Постройте орбиту космического корабля, из любой точки которой Земля и Луна казались бы одинаковыми по величине.
Подробнее
Известно, что минимальное число прямолинейных разрезов, необходимых для того, чтобы разрезать данный тупоугольный треугольник на остроугольные треугольники, равно 7. Покажите, как практически следует провести эти разрезы.
Подробнее
Найдите тупоугольный треугольник, подобный своему высотному треугольнику.
Подробнее
У двух треугольников стороны соответственно равны $\sqrt{a^{2} + b^{2}}, \sqrt{b^{2} + c^{2}}, \sqrt{c^{2} + a^{2}}$ и $\sqrt{p^{2} + q^{2}}, \sqrt{q^{2} + r^{2}}, \sqrt{r^{2} + p^{2}}$. У какого из них площадь больше, если известно, кроме того, что $a^{2}b^{2} + b^{2}c^{2} + c^{2}a^{2} = p^{2}q^{2} + r^{2}p^{2}$ и $a > p, b > q$?
Подробнее
Корабль $A$ бросил якорь в 9 милях от ближайшей к нему точки прямолинейного берега $O$. Корабль $B$ стоит в 3 милях от берега напротив точки берега, расположенной в 6 милях от $O$. Лодка отчаливает от корабля $A$, плывет к некоторой точке на берегу, забирает там пассажира и доставляет его на борт $B$. Одна миля пути обходится владельцу лодки в 1 доллар вне зависимости от того, везет ли он пассажира или идет порожняком. Пассажир за 1 милю пути платит владельцу лодки 2 доллара. Где следует владельцу лодки назначить встречу с пассажиром, Чтобы его чистый доход (на пути от $A$ до берега и далее до $B$) был максимален?
Подробнее
Докажите, что если любая прямая, проходящая через фиксированную внутреннюю точку $O$ четырехугольника $ABCD$, разбивает его периметр на 2 части равной длины, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Подробнее
