2023-08-14
Найдите тупоугольный треугольник, подобный своему высотному треугольнику.
Решение:
Возьмем тупоугольный треугольник $ABC$, у которого углы подчинены условию $C > B > A$. Обозначим через $A^{ \prime}, B^{ \prime}, C^{ \prime}$ проекции точек $A, B, C$ соответственно на $BC, AC$ и $AB$. В треугольнике $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}$ для углов выполняются соотношения $B^{ \prime} > A^{ \prime} > C^{ \prime}$, которые можно установить, рассматривая касательные, проведенные в точках $A, B, C$ к окружности, описанной около треугольника $ABC$, которые параллельны сторонам треугольника $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}$. Таким образом, мы требуем, чтобы выполнялись равенства $A = C^{ \prime}, B = A^{ \prime}, C = B^{ \prime}$.
Рассматривая циклические четырехугольники $AA^{ \prime}CC^{ \prime}$ и $C^{ \prime}CB^{ \prime}B$ и замечая, что высоты треугольника $ABC$ делят внутренние углы высотного треугольника пополам, мы находим, что $B = A^{ \prime} = 2A, C = B^{ \prime} = 2B$ и $C = 2B = 4A$. Отсюда следует, что $A = \frac{ \pi}{7}, B = \frac{2 \pi }{7}$ и $C = \frac{4 \pi}{7}$.
Если исходный тупоугольный треугольник является еще и равнобедренным, то задача не имеет решения, поскольку при $C > B = A$ мы получаем противоречивую цепочку равенств
$A = B = A^{ \prime} = B^{ \prime} = 2A = 2B$.
Следовательно, полученное выше решение единственно.
Легко показать, что среди остроугольных треугольников единственным треугольником, подобным своему вы-сотноыу, будет равносторонний треугольник.