Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13342
2023-08-14 
Докажите, что если любая прямая, проходящая через фиксированную внутреннюю точку $O$ четырехугольника $ABCD$, разбивает его периметр на 2 части равной длины, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Решение:
I. Проведем через точку $O$ прямую $EF$, которая не проходит ни через какую из вершин данного четырехугольника. Возьмем на стороне, содержащей $E$, две точки, равноотстоящие от $E$, и проведем через них и точку $O$ еще две прямые. Эти две прямые пересекут сторону, на которой расположена точка $F$, в двух точках, равноотстоящих от $F$, так как каждая из этих прямых делит периметр пополам. Поскольку три точки на одной из сторон получаются из трех точек. лежащих на другой стороне, с помощью центрального проектирования, данные две стороны параллельны между собой. Это же верно и для другой пары сторон. Таким образом. четырехугольник $ABCD$ - параллелограмм.
II. Мы рассмотрим более общую задачу, в которой вместо четырехугольника берется замкнутая кривая, звездная относительно фиксированной точки $O$, и для этой кривой выполняется то же свойство, относящееся к периметру, что и для $ABCD$.
В силу этого свойства для бесконечно малого приращения угла $\theta$ (см. рисунок) выполняется равенство
$\sqrt{R^{2}( \theta ) + R^{ \prime} ( \theta )^{2}} d \theta = \sqrt{S^{2}( \theta )+(S^{ \prime} ( \theta ))^{2}} d \theta$.
Следовательно, $R( \theta ) \equiv S( \theta)$ и наша кривая центрально симметрична относительно точки $O$. Если мы рассмотрим четырехугольник $ABCD$, то из сказанного выше следует, что он является параллелограммом.
Докажите, что если любая прямая, проходящая через фиксированную внутреннюю точку $O$ четырехугольника $ABCD$, разбивает его периметр на 2 части равной длины, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Решение:
I. Проведем через точку $O$ прямую $EF$, которая не проходит ни через какую из вершин данного четырехугольника. Возьмем на стороне, содержащей $E$, две точки, равноотстоящие от $E$, и проведем через них и точку $O$ еще две прямые. Эти две прямые пересекут сторону, на которой расположена точка $F$, в двух точках, равноотстоящих от $F$, так как каждая из этих прямых делит периметр пополам. Поскольку три точки на одной из сторон получаются из трех точек. лежащих на другой стороне, с помощью центрального проектирования, данные две стороны параллельны между собой. Это же верно и для другой пары сторон. Таким образом. четырехугольник $ABCD$ - параллелограмм.
II. Мы рассмотрим более общую задачу, в которой вместо четырехугольника берется замкнутая кривая, звездная относительно фиксированной точки $O$, и для этой кривой выполняется то же свойство, относящееся к периметру, что и для $ABCD$.
В силу этого свойства для бесконечно малого приращения угла $\theta$ (см. рисунок) выполняется равенство
$\sqrt{R^{2}( \theta ) + R^{ \prime} ( \theta )^{2}} d \theta = \sqrt{S^{2}( \theta )+(S^{ \prime} ( \theta ))^{2}} d \theta$.
Следовательно, $R( \theta ) \equiv S( \theta)$ и наша кривая центрально симметрична относительно точки $O$. Если мы рассмотрим четырехугольник $ABCD$, то из сказанного выше следует, что он является параллелограммом.
