Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13333
2023-08-14 
В треугольнике со сторонами $a, b, v$ прямая, соединяющая центр тяжести с центром вписанной окружности, перпендикулярна биссектрисе угла, противолежащего стороне $c$. Покажите, что среднее арифметическое чисел $a, b, v$ равно среднему гармоническому чисел $a$ и $b$.
Решение:
Пусть $G$ - центр тяжести, $I$ - центр вписанной окружности, $S$ - площадь, $h_{a}$ и $h_{b}$ - высоты, опущенные соответственно на стороны $a$ и $b$ в треугольнике $ABC$. Обозначим через $P$ и $Q$ точки пересечения прямой $GI$ соответственно со сторонами $BC$ и $CA$. Поскольку сумма площадей треугольников $GPC$ и $GQC$ совпадает с аналогичной суммой для треугольников $IPC$ и $IQC$ и $CP = CQ$, мы находим, что $\frac{1}{3} h_{a} + \frac{1}{3} h_{b} = 2r$. Требуемое равенство получится теперь немедленно из соотношений
$h_{a} = \frac{2S}{a}, h_{b} = \frac{2S}{b}$ и $r = \frac{2S}{a + b +c}$.
В треугольнике со сторонами $a, b, v$ прямая, соединяющая центр тяжести с центром вписанной окружности, перпендикулярна биссектрисе угла, противолежащего стороне $c$. Покажите, что среднее арифметическое чисел $a, b, v$ равно среднему гармоническому чисел $a$ и $b$.
Решение:
Пусть $G$ - центр тяжести, $I$ - центр вписанной окружности, $S$ - площадь, $h_{a}$ и $h_{b}$ - высоты, опущенные соответственно на стороны $a$ и $b$ в треугольнике $ABC$. Обозначим через $P$ и $Q$ точки пересечения прямой $GI$ соответственно со сторонами $BC$ и $CA$. Поскольку сумма площадей треугольников $GPC$ и $GQC$ совпадает с аналогичной суммой для треугольников $IPC$ и $IQC$ и $CP = CQ$, мы находим, что $\frac{1}{3} h_{a} + \frac{1}{3} h_{b} = 2r$. Требуемое равенство получится теперь немедленно из соотношений
$h_{a} = \frac{2S}{a}, h_{b} = \frac{2S}{b}$ и $r = \frac{2S}{a + b +c}$.
