Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13329
2023-08-14 
Предположим, что $a - 1$ и $a + 1$ - простые числа (такая пара называется простыми близнецами), большие 10. Докажите, что $a^{3} - 4a$ делится на 120.
Решение:
Докажем более сильный результат. Для этого заметим, что число $(a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2)$ представляет собой произведение пяти последовательных целых чисел, так что одно из них делится на 3 и одно делится на 5. Если $a - 1$ и $a + 1$ - простые числа, то $a - 2, a, a + 2$ - последовательные четные числа, так что по крайней мере одно из них делится на 4, а два остальных на 2. Следовательно, произведение трех целых чисел, смежных с простыми близнецами >5, делится на $3 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 2$. Другими словами, $a^{3} - 4a$ делится на 240. На самом деле если а представляет собой удвоенное нечетное число, скажем 42, то $a^{3} - 4a$ делится на 480. В последнем случае простые близнецы имеют вид $6k - 1$ и $6k + 1$, где $k$ нечетно.
Предположим, что $a - 1$ и $a + 1$ - простые числа (такая пара называется простыми близнецами), большие 10. Докажите, что $a^{3} - 4a$ делится на 120.
Решение:
Докажем более сильный результат. Для этого заметим, что число $(a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2)$ представляет собой произведение пяти последовательных целых чисел, так что одно из них делится на 3 и одно делится на 5. Если $a - 1$ и $a + 1$ - простые числа, то $a - 2, a, a + 2$ - последовательные четные числа, так что по крайней мере одно из них делится на 4, а два остальных на 2. Следовательно, произведение трех целых чисел, смежных с простыми близнецами >5, делится на $3 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 2$. Другими словами, $a^{3} - 4a$ делится на 240. На самом деле если а представляет собой удвоенное нечетное число, скажем 42, то $a^{3} - 4a$ делится на 480. В последнем случае простые близнецы имеют вид $6k - 1$ и $6k + 1$, где $k$ нечетно.
