Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13334
2023-08-14 
Пусть шахматная доска состоит из квадратов со стороной, равной 4. Пусть, далее, на эту доску бросают правильный $4n$-угольник «радиуса» 1. Определите вероятность того, что этот многоугольник пересечет сторону какого-либо квадрата.
Решение:
Мы можем считать без ограничения общности, что центр многоугольника попадает внутрь некоторого квадрата в точку, которая находится на расстоянии $l$ от ближайшей к нему стороны этого квадрата. Опустим перпендикуляр из центра нашего многоугольника на эту сторону и рассмотрим углы, образованные этим перпендикуляром и «радиусами» (то есть прямыми, соединяющими центр с вершинами) многоугольника. Один из таких углов, наименьший по абсолютной величине, обозначим через $\theta$. Вершина, лежащая на соответствующем «радиусе», расположена ближе всех к данной стороне, поскольку расстояние от нее до этой стороны равно $l - \cos \theta$, а эта величина принимает минимальное значение, когда $\cos \theta$ максимален.
Если многоугольник пересекает данную сторону квадрата, то $l$ должно быть меньше $\cos \theta$. Поскольку число сторон многоугольника кратно 4, ситуация одинакова по отношению ко всем сторонам квадрата. Следовательно, центр многоугольника должен находиться не дальше чем на $\cos \theta$ от одной из сторон квадрата. Вероятность такого события равна
$\frac{16 \cos \theta - 4 \cos^{2} \theta}{16}$. (1)
Данная величина представляет собой отношение площади той области, в которой может находиться центр многоугольника, пересекающего квадрат, к площади всего квадрата.
Далее очевидно, что $0 \leq \theta$ и $0 \leq \frac{ \pi}{4n}$. Следовательно, вероятность того, что на ш угол окажется в бесконечно малом интервале между каким-то $\theta$ и $\theta + d \theta$, равна
$\frac{4n d \theta}{ \pi}$. (2)
Вероятность того, что наш многоугольник пересечет квадрат и при этом угол $\theta$ окажется в нужном интервале, равна произведению (1) и (2). Искомая вероятность получится теперь интегрированием по всем значениям $\theta$, то есть окажется равной
$\frac{4n}{ \pi} \int_{0}^{ \frac{ \pi }{4n} } \left ( \cos \theta - \frac{1}{4} \cos^{2} \theta \right ) d \theta = \frac{4n}{ \pi} \sin \frac{ \pi}{4n} - \frac{n}{4 \pi} \sin \frac{ \pi}{2n} - \frac{1}{8}$.
Пусть шахматная доска состоит из квадратов со стороной, равной 4. Пусть, далее, на эту доску бросают правильный $4n$-угольник «радиуса» 1. Определите вероятность того, что этот многоугольник пересечет сторону какого-либо квадрата.
Решение:
Мы можем считать без ограничения общности, что центр многоугольника попадает внутрь некоторого квадрата в точку, которая находится на расстоянии $l$ от ближайшей к нему стороны этого квадрата. Опустим перпендикуляр из центра нашего многоугольника на эту сторону и рассмотрим углы, образованные этим перпендикуляром и «радиусами» (то есть прямыми, соединяющими центр с вершинами) многоугольника. Один из таких углов, наименьший по абсолютной величине, обозначим через $\theta$. Вершина, лежащая на соответствующем «радиусе», расположена ближе всех к данной стороне, поскольку расстояние от нее до этой стороны равно $l - \cos \theta$, а эта величина принимает минимальное значение, когда $\cos \theta$ максимален.
Если многоугольник пересекает данную сторону квадрата, то $l$ должно быть меньше $\cos \theta$. Поскольку число сторон многоугольника кратно 4, ситуация одинакова по отношению ко всем сторонам квадрата. Следовательно, центр многоугольника должен находиться не дальше чем на $\cos \theta$ от одной из сторон квадрата. Вероятность такого события равна
$\frac{16 \cos \theta - 4 \cos^{2} \theta}{16}$. (1)
Данная величина представляет собой отношение площади той области, в которой может находиться центр многоугольника, пересекающего квадрат, к площади всего квадрата.
Далее очевидно, что $0 \leq \theta$ и $0 \leq \frac{ \pi}{4n}$. Следовательно, вероятность того, что на ш угол окажется в бесконечно малом интервале между каким-то $\theta$ и $\theta + d \theta$, равна
$\frac{4n d \theta}{ \pi}$. (2)
Вероятность того, что наш многоугольник пересечет квадрат и при этом угол $\theta$ окажется в нужном интервале, равна произведению (1) и (2). Искомая вероятность получится теперь интегрированием по всем значениям $\theta$, то есть окажется равной
$\frac{4n}{ \pi} \int_{0}^{ \frac{ \pi }{4n} } \left ( \cos \theta - \frac{1}{4} \cos^{2} \theta \right ) d \theta = \frac{4n}{ \pi} \sin \frac{ \pi}{4n} - \frac{n}{4 \pi} \sin \frac{ \pi}{2n} - \frac{1}{8}$.
