Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13330
2023-08-14 
Найдите наибольшее возможное число пересечений диагоналей плоского выпуклого $n$-угольника.
Решение:
Любые четыре вершины полностью определяют некоторый четырехугольник. Единственная точка пересечения диагоналей такого четырехугольника лежит в силу выпуклости внутри исходного многоугольника. Эта точка принадлежит ровно двум диагоналям нашего $n$-угольника. Следовательно, число пересечений диагоналей исходного $n$-угольника окажется максимальным, когда все такие точки будут отличны друг от друга. Но в этом случае их число будет совпадать с количеством четырехугольников, которые можно составить из вершин исходного многоугольника, а именно с
$C_{n}^{4} = \frac{n(n - 1)(n - 2)(n -3)}{24}$.
Найдите наибольшее возможное число пересечений диагоналей плоского выпуклого $n$-угольника.
Решение:
Любые четыре вершины полностью определяют некоторый четырехугольник. Единственная точка пересечения диагоналей такого четырехугольника лежит в силу выпуклости внутри исходного многоугольника. Эта точка принадлежит ровно двум диагоналям нашего $n$-угольника. Следовательно, число пересечений диагоналей исходного $n$-угольника окажется максимальным, когда все такие точки будут отличны друг от друга. Но в этом случае их число будет совпадать с количеством четырехугольников, которые можно составить из вершин исходного многоугольника, а именно с
$C_{n}^{4} = \frac{n(n - 1)(n - 2)(n -3)}{24}$.
