Покажите, что число $log_{e} 2$ иррационально,
Подробнее
Пусть $a, m, n$ - положительные целые числа и $n$, кроме того, нечетно. Докажите, что наибольший общий делитель чисел $a^{n} - 1$ и $a^{m} + 1$ не превосходит 2.
Подробнее
Квадрат $3 \times 3$ мы называем гномон-магическим, если суммы чисел, составляющих квадраты $2 \times 2$, которые остаются после удаления из исходного квадрата одного из четырех «уголков» (гномонов). равны между собой. Покажите, что у гномон-магического квадрата третьего порядка суммы чисел, стоящих на двух диагоналях, равны между собой. Сохраняется ли это свойство для более высоких порядков?
Подробнее
Докажите, что диофантово уравнение $5^{x} + 2 = 17^{y}$ не имеет решений.
Подробнее
Найдите такую область, ограниченную простым замкнутым многоугольником, чтобы для любых двух сторон данного многоугольника существовала бы внутренняя точка, из которой эти стороны были бы видны. Однако при этом ни из одной внутренней точки не должны быть видны все стороны одновременно.
Подробнее
При каком значении $a$ график функции $a^{x}$ касается графика функции $log_{a} x$?
Подробнее
Покажите. что ни у какого равностороннего треугольника, вписанного в эллипс (с неравными осями) или описанного около него, центр не может совпадать с центром эллипса.
Подробнее
Предположим, что $a - 1$ и $a + 1$ - простые числа (такая пара называется простыми близнецами), большие 10. Докажите, что $a^{3} - 4a$ делится на 120.
Подробнее
Найдите наибольшее возможное число пересечений диагоналей плоского выпуклого $n$-угольника.
Подробнее
Каждая буква следующего криптарифма поставлена вместо вполне определенной десятичной цифры:
$3(BIDFOR) = 4(FORBID)$.
Восстановите исходную запись.
Подробнее
Палка длиной $d$ помещена в полусферический чан диаметром $d$. Пренебрегая толщиной палки и считая, что сила трения отсутствует, определите угол, который палка будет составлять с диаметром в положении равновесия.
Подробнее
В треугольнике со сторонами $a, b, v$ прямая, соединяющая центр тяжести с центром вписанной окружности, перпендикулярна биссектрисе угла, противолежащего стороне $c$. Покажите, что среднее арифметическое чисел $a, b, v$ равно среднему гармоническому чисел $a$ и $b$.
Подробнее
Пусть шахматная доска состоит из квадратов со стороной, равной 4. Пусть, далее, на эту доску бросают правильный $4n$-угольник «радиуса» 1. Определите вероятность того, что этот многоугольник пересечет сторону какого-либо квадрата.
Подробнее
Докажите, что длины двух катетов прямоугольного треугольника с целочисленными сторонами не могут выражаться простыми числами-близнецами.
Подробнее
Повариха печет лепешки па круглой сковороде, диаметр которой равен 26 единицам. Она кладет три круглых куска теста разных размеров так, что их центры лежат на одной прямой и вместе они покрывают весь диаметр сковороды, но - только половину ее площади. Найдите диаметры трех лепешек, если известно, что они выражаются целыми числами.
Подробнее
