Пусть в единичном квадрате задано 9 произвольных точек. Покажите, что среди всех треугольников, вершины которых расположены в данных точках, есть по крайней мере один, чья площадь не превосходит $\frac{1}{8}$. Обобщите этот результат.
Подробнее
Докажите, что если на сфере $n$ различных больших кругов пересекаются более чем в двух точках, то они пересекаются по крайней мере в $2n$ точках ($n \geq 2$; учитываются всевозможные точки, общие по крайней мере двум из кругов).
Подробнее
Мистер Хиппи, заядлый искатель правды, слегка задремал на уроке. Проснувшись, он услышал, как учитель геометрии говорил, что, соединив между собой середины сторон произвольного четырехугольника, можно получить параллелограмм. Мистер Хиппи, дабы никто не превзошел его в умении строить гипотезы «на песке», решил, что если на сторонах произвольного четырехугольника выбрать точки, делящие эти стороны на 3 равные части, а затем такие точки соединить между собой, то при этом снова получится параллелограмм. Какова вероятность того, что мистер Хиппи прав?
Докажите, что, кроме середин, не существует других точек, делящих стороны в заданном отношении $r$ и таких, что, соединяя их между собой, мы получаем параллелограмм независимо от длины сторон исходного четырехугольника.
Подробнее
Пусть в некотором шаре заданы три взаимно перпендикулярные хорды $APB, CPD$ и $EPF$, проходящие через одну точку. Определите радиус шара, если известно, что $AP = 2a, BP = 2b, CP = 2c, DP = 2d, EP = 2e$ и $FP = 2f$.
Подробнее
Пусть задан треугольник $ABC$. Пусть, далее, $A^{ \prime}, B^{ \prime}$ и $C^{ \prime}$ лежат строго внутри отрезков $BC, CA$ и $AB$, причем $AA^{ \prime}, BB^{ \prime}$ и $CC^{ \prime}$ пересекаются в точке $G$, а $\frac{AG}{GA^{ \prime}} = \frac{BG}{GB^{ \prime}} = \frac{CG}{GC^{ \prime}}$. Докажите. что $AA^{ \prime}, BB^{ \prime}$ и $CC^{ \prime}$ представляют собой медианы треугольника $ABC$. Как изменится данное утверждение. если слова «строго внутри отрезков» заменим словами «на прямых»?
Подробнее
Могут ли квадратные корни из трех различных простых чисел быть членами одной и той же геометрической прогрессии?
Подробнее
Покажите. что все целые решения уравнения
$x^{3} + y^{3} + z^{3} = u^{3}$,
где $x, y, z, u$ образуют арифметическую прогрессию, кратны $x = 3, y = 4, z = 5, u = 6$.
Подробнее
Пусть $I, O, H$ - соответственно центры вписанной, описанной окружностей и ортоцентр треугольника $ABC$, у которого $C > B > A$. Покажите, что точка $I$ обязана лежать внутри треугольника $BOH$.
Подробнее
Покажите, что число $log_{e} 2$ иррационально,
Подробнее
Пусть $a, m, n$ - положительные целые числа и $n$, кроме того, нечетно. Докажите, что наибольший общий делитель чисел $a^{n} - 1$ и $a^{m} + 1$ не превосходит 2.
Подробнее
Квадрат $3 \times 3$ мы называем гномон-магическим, если суммы чисел, составляющих квадраты $2 \times 2$, которые остаются после удаления из исходного квадрата одного из четырех «уголков» (гномонов). равны между собой. Покажите, что у гномон-магического квадрата третьего порядка суммы чисел, стоящих на двух диагоналях, равны между собой. Сохраняется ли это свойство для более высоких порядков?
Подробнее
Докажите, что диофантово уравнение $5^{x} + 2 = 17^{y}$ не имеет решений.
Подробнее
Найдите такую область, ограниченную простым замкнутым многоугольником, чтобы для любых двух сторон данного многоугольника существовала бы внутренняя точка, из которой эти стороны были бы видны. Однако при этом ни из одной внутренней точки не должны быть видны все стороны одновременно.
Подробнее
При каком значении $a$ график функции $a^{x}$ касается графика функции $log_{a} x$?
Подробнее
Покажите. что ни у какого равностороннего треугольника, вписанного в эллипс (с неравными осями) или описанного около него, центр не может совпадать с центром эллипса.
Подробнее
