Разрежьте правильный двенадцатиугольник на квадраты и равносторонние треугольники.
Пусть $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{12}$ - последовательные вершины правильного двенадцатиугольника. Что можно сказать о пересечении диагоналей $P_{1}P_{9}, P_{2}P_{11}$ и $P_{4}P_{12}$?
Подробнее
Докажите, для любого натурального $n$ существует множество из $n$ составных чисел, образующих арифметическую прогрессию, и таких, что все эти числа попарно взаимно просты.
Подробнее
Найдите все целые числа $x, y, z$, при которых величина $4^{x} + 4^{y} + 4^{z}$ представляв собой полный квадрат.
Подробнее
С характерным для него упорством профессор Евклид Парацельсо Бомбаст Умбуджо пытается доказать следующую теорему: если в треугольнике $ABC$ ортоцентр $H$, центр $I$ вписанной и центр $O$ описанной окружностей образуют равносторонний треугольник, то
$\cos A + \cos B + \cos C = \frac{3}{2}$.
Прекратите мучения профессора, показав, что, во-первых, треугольник $HIO$ не может быть равносторонним и, во-вторых, что если выполняется соотношение $\cos A + \cos B + \cos C = \frac{3}{2}$, то треугольника $HIO$ вообще не существует.
Подробнее
Могут ли величины $\sqrt{ \sin \theta}$ и $\sqrt{ \cos \theta}$ одновременно принимать рациональные значения для какого-нибудь $\theta$ из интервала $\left ( 0, \frac{ \pi}{2} \right )$?
Подробнее
Может ли натуральное число, которое в десятичной системе записывается с помощью $6k - 1$ единиц, быть простым?
Подробнее
Квадрат и треугольник равной площади вписаны в некоторый полукруг, причем одна из сторон треугольника совпадает с диаметром этого полукруга. Покажите, что центр окружности, вписанной в данный треугольник, лежит на одной из сторон данного квадрата.
Подробнее
Пусть в единичном квадрате задано 9 произвольных точек. Покажите, что среди всех треугольников, вершины которых расположены в данных точках, есть по крайней мере один, чья площадь не превосходит $\frac{1}{8}$. Обобщите этот результат.
Подробнее
Докажите, что если на сфере $n$ различных больших кругов пересекаются более чем в двух точках, то они пересекаются по крайней мере в $2n$ точках ($n \geq 2$; учитываются всевозможные точки, общие по крайней мере двум из кругов).
Подробнее
Мистер Хиппи, заядлый искатель правды, слегка задремал на уроке. Проснувшись, он услышал, как учитель геометрии говорил, что, соединив между собой середины сторон произвольного четырехугольника, можно получить параллелограмм. Мистер Хиппи, дабы никто не превзошел его в умении строить гипотезы «на песке», решил, что если на сторонах произвольного четырехугольника выбрать точки, делящие эти стороны на 3 равные части, а затем такие точки соединить между собой, то при этом снова получится параллелограмм. Какова вероятность того, что мистер Хиппи прав?
Докажите, что, кроме середин, не существует других точек, делящих стороны в заданном отношении $r$ и таких, что, соединяя их между собой, мы получаем параллелограмм независимо от длины сторон исходного четырехугольника.
Подробнее
Пусть в некотором шаре заданы три взаимно перпендикулярные хорды $APB, CPD$ и $EPF$, проходящие через одну точку. Определите радиус шара, если известно, что $AP = 2a, BP = 2b, CP = 2c, DP = 2d, EP = 2e$ и $FP = 2f$.
Подробнее
Пусть задан треугольник $ABC$. Пусть, далее, $A^{ \prime}, B^{ \prime}$ и $C^{ \prime}$ лежат строго внутри отрезков $BC, CA$ и $AB$, причем $AA^{ \prime}, BB^{ \prime}$ и $CC^{ \prime}$ пересекаются в точке $G$, а $\frac{AG}{GA^{ \prime}} = \frac{BG}{GB^{ \prime}} = \frac{CG}{GC^{ \prime}}$. Докажите. что $AA^{ \prime}, BB^{ \prime}$ и $CC^{ \prime}$ представляют собой медианы треугольника $ABC$. Как изменится данное утверждение. если слова «строго внутри отрезков» заменим словами «на прямых»?
Подробнее
Могут ли квадратные корни из трех различных простых чисел быть членами одной и той же геометрической прогрессии?
Подробнее
Покажите. что все целые решения уравнения
$x^{3} + y^{3} + z^{3} = u^{3}$,
где $x, y, z, u$ образуют арифметическую прогрессию, кратны $x = 3, y = 4, z = 5, u = 6$.
Подробнее
Пусть $I, O, H$ - соответственно центры вписанной, описанной окружностей и ортоцентр треугольника $ABC$, у которого $C > B > A$. Покажите, что точка $I$ обязана лежать внутри треугольника $BOH$.
Подробнее
