Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13340
2023-08-14 
У двух треугольников стороны соответственно равны $\sqrt{a^{2} + b^{2}}, \sqrt{b^{2} + c^{2}}, \sqrt{c^{2} + a^{2}}$ и $\sqrt{p^{2} + q^{2}}, \sqrt{q^{2} + r^{2}}, \sqrt{r^{2} + p^{2}}$. У какого из них площадь больше, если известно, кроме того, что $a^{2}b^{2} + b^{2}c^{2} + c^{2}a^{2} = p^{2}q^{2} + r^{2}p^{2}$ и $a > p, b > q$?
Решение:
Рассмотрим тетраэдр, у которого все плоские углы при одной из вершин прямые, а ребра, выходящие из этой вершины, равны соответственно $a, b$ и $c$. Остальные три ребра тетраэдра равны соответственно $\sqrt{a^{2} + b^{2}}, \sqrt{b^{2} + c^{2}}$ и $\sqrt{c^{2} + a^{2}}$. Поскольку сумма квадратов площадей тех граней, которые прилегают к данной вершине, равна квадрату площади четвертой грани, мы получаем, что квадрат площади четвертой грани равен
$\frac{a^{2}b^{2} + b^{2}c^{2} + c^{2}a^{2}}{4}$.
Если мы рассмотрим аналогичный тетраэдр, у которого ребра, образующие прямые углы, равны соответственно $p, q$ и $r$, то квадрат площади его четвертой грани окажется равным
$\frac{p^{2}q^{2} + q^{2}r^{2} + r^{2}p^{2}}{4}$.
Поскольку же нам дано, что
$a^{2}b^{2} + b^{2}c^{2} + c^{2}a^{2} = p^{2}q^{2} + q^{2}r^{2} + r^{2}p^{2}$,
то площади двух исходных треугольников равны между собой независимо от соотношения между $a, p, b$ и $q$.
У двух треугольников стороны соответственно равны $\sqrt{a^{2} + b^{2}}, \sqrt{b^{2} + c^{2}}, \sqrt{c^{2} + a^{2}}$ и $\sqrt{p^{2} + q^{2}}, \sqrt{q^{2} + r^{2}}, \sqrt{r^{2} + p^{2}}$. У какого из них площадь больше, если известно, кроме того, что $a^{2}b^{2} + b^{2}c^{2} + c^{2}a^{2} = p^{2}q^{2} + r^{2}p^{2}$ и $a > p, b > q$?
Решение:
Рассмотрим тетраэдр, у которого все плоские углы при одной из вершин прямые, а ребра, выходящие из этой вершины, равны соответственно $a, b$ и $c$. Остальные три ребра тетраэдра равны соответственно $\sqrt{a^{2} + b^{2}}, \sqrt{b^{2} + c^{2}}$ и $\sqrt{c^{2} + a^{2}}$. Поскольку сумма квадратов площадей тех граней, которые прилегают к данной вершине, равна квадрату площади четвертой грани, мы получаем, что квадрат площади четвертой грани равен
$\frac{a^{2}b^{2} + b^{2}c^{2} + c^{2}a^{2}}{4}$.
Если мы рассмотрим аналогичный тетраэдр, у которого ребра, образующие прямые углы, равны соответственно $p, q$ и $r$, то квадрат площади его четвертой грани окажется равным
$\frac{p^{2}q^{2} + q^{2}r^{2} + r^{2}p^{2}}{4}$.
Поскольку же нам дано, что
$a^{2}b^{2} + b^{2}c^{2} + c^{2}a^{2} = p^{2}q^{2} + q^{2}r^{2} + r^{2}p^{2}$,
то площади двух исходных треугольников равны между собой независимо от соотношения между $a, p, b$ и $q$.
