Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13335
2023-08-14 
Докажите, что длины двух катетов прямоугольного треугольника с целочисленными сторонами не могут выражаться простыми числами-близнецами.
Решение:
Предположим, что $p$ и $p + 2$ - два простых числа-близнеца, такие, что
$p^{2} + (p + 2)^{2} = k^{2}$,
где $k$ - целое число. Тогда
$2p^{2} + 4p + 4 = k^{2}$.
Но отсюда следует, что $k^{2}$, а значит, и $k$ четны. Пусть $k = 2n$, тогда наше соотношение перепишется в виде
$2p^{2} + 4p + 4 = 4n^{2}$,
или
$p^{2} + 2p + 2 = 2n^{2}$.
Левая часть данного равенства нечетна, поскольку нечетно $p$, правая же часть четна. Следовательно, это равенство противоречиво.
Докажите, что длины двух катетов прямоугольного треугольника с целочисленными сторонами не могут выражаться простыми числами-близнецами.
Решение:
Предположим, что $p$ и $p + 2$ - два простых числа-близнеца, такие, что
$p^{2} + (p + 2)^{2} = k^{2}$,
где $k$ - целое число. Тогда
$2p^{2} + 4p + 4 = k^{2}$.
Но отсюда следует, что $k^{2}$, а значит, и $k$ четны. Пусть $k = 2n$, тогда наше соотношение перепишется в виде
$2p^{2} + 4p + 4 = 4n^{2}$,
или
$p^{2} + 2p + 2 = 2n^{2}$.
Левая часть данного равенства нечетна, поскольку нечетно $p$, правая же часть четна. Следовательно, это равенство противоречиво.
