Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13336
2023-08-14 
Повариха печет лепешки па круглой сковороде, диаметр которой равен 26 единицам. Она кладет три круглых куска теста разных размеров так, что их центры лежат на одной прямой и вместе они покрывают весь диаметр сковороды, но - только половину ее площади. Найдите диаметры трех лепешек, если известно, что они выражаются целыми числами.
Решение:
Поскольку площади пропорциональны квадратам соответствующих диаметров, достаточно найти 3 различных целых числа, сумма которых равнялась бы 26 и сумма квадратов которых равнялась бы $676 \cdot 2 = 338$.
Пусть $x, y, z$ - диаметры лепешек. Тогда
$x + y + z = 26$,
$x^{2} + y^{2} + z^{2}= 338$;
и, значит,
$x^{2} + y^{2} + z^{2} = \frac{(x+y+z)^{2}}{2}$.
Это приводит к диофантову уравнению:
$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2xy - 2xz- 2yz = 0$,
или
$(x - y - z)^{2} = 4yz$.
Следовательно, $yz$ является полным квадратом, откуда $y = k^{2}m, z = l^{2}m$ для иекОТОРЫХ целых $k, l, m$ и
$x - y - z = \pm 2klm$,
$x = m(k \pm l)^{2}$,
а значит,
$2 \cdot 13 = 26 = m[(k \pm l)^{2} + k^{2} + l^{2}]$,
$2 \cdot 13^{2} = 338 = m^{2}[(k \pm l)^{4} + k^{4} + l^{4}]$,
Отсюда $m = 1$ или 13. Прямой проверкой убеждаемся, что второе невозможно. Остается найти три различных квадрата, в сумме дающих 26. Единственные числа, удовлетворяющие этому условию, суть 1, 9, 16.
Повариха печет лепешки па круглой сковороде, диаметр которой равен 26 единицам. Она кладет три круглых куска теста разных размеров так, что их центры лежат на одной прямой и вместе они покрывают весь диаметр сковороды, но - только половину ее площади. Найдите диаметры трех лепешек, если известно, что они выражаются целыми числами.
Решение:
Поскольку площади пропорциональны квадратам соответствующих диаметров, достаточно найти 3 различных целых числа, сумма которых равнялась бы 26 и сумма квадратов которых равнялась бы $676 \cdot 2 = 338$.
Пусть $x, y, z$ - диаметры лепешек. Тогда
$x + y + z = 26$,
$x^{2} + y^{2} + z^{2}= 338$;
и, значит,
$x^{2} + y^{2} + z^{2} = \frac{(x+y+z)^{2}}{2}$.
Это приводит к диофантову уравнению:
$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2xy - 2xz- 2yz = 0$,
или
$(x - y - z)^{2} = 4yz$.
Следовательно, $yz$ является полным квадратом, откуда $y = k^{2}m, z = l^{2}m$ для иекОТОРЫХ целых $k, l, m$ и
$x - y - z = \pm 2klm$,
$x = m(k \pm l)^{2}$,
а значит,
$2 \cdot 13 = 26 = m[(k \pm l)^{2} + k^{2} + l^{2}]$,
$2 \cdot 13^{2} = 338 = m^{2}[(k \pm l)^{4} + k^{4} + l^{4}]$,
Отсюда $m = 1$ или 13. Прямой проверкой убеждаемся, что второе невозможно. Остается найти три различных квадрата, в сумме дающих 26. Единственные числа, удовлетворяющие этому условию, суть 1, 9, 16.
