Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13332
2023-08-14 
Палка длиной $d$ помещена в полусферический чан диаметром $d$. Пренебрегая толщиной палки и считая, что сила трения отсутствует, определите угол, который палка будет составлять с диаметром в положении равновесия.
Решение:
I. Если мы окажемся достаточно изобретательными и проведем дополнительные линии, показанные на рис., то немедленно получим следующие соотношения:
$y = u \sin \theta$,
$v = 2a \sin \theta$,
$v^{2} + (u + a)^{2} = 4a^{2}$.
Исключая отсюда $u$ и $v$, мы приходим к уравнению
$y = a( \sin 2 \theta - \sin \theta )$.
Если $P$ - центр тяжести нашей палки, то положение равновесия будет достигнуто в том случае, когда $P$ будет расположен в самом низком из возможных положений. Поэтому искомым углом будет тот угол, при котором у примет максимальное значение. Приравнивая к нулю $y^{ \prime}( \theta )$, мы приходим к уравнению
$4 \cos^{2} \theta - \cos \theta - 2 = 0$,
из которого находим
$\cos \theta = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}$.
Но искомый угол острый. Поэтому единственным решением задачи будет $\theta \approx 32^{ \circ}32^{ \prime}$.
II. Введем полярные координаты так, как показано на рис. Тогда траектория центра тяжести $P$ (рис.) будет задаваться уравнением
$r = 2a \cos \theta - a, - \frac{ \pi}{2} \leq \theta \leq 0$.
Для того чтобы найти наинизшее положение $P$, вспомним выражение для углового коэффициента касательной к кривой, заданной в полярных координатах,
$k = \frac{r + r^{ \prime} tg \theta}{r^{ \prime} - r tg \theta}$.
и приравняем его к нулю. Подставляя выражение $r( \theta)$ в равенство
$r + r^{ \prime} tg \theta = 0$,
мы и получим уравнение
$4 \cos^{2} \theta - \cos \theta - 2=0$.
Решая его, найдем $\theta \approx - 32^{ \circ}32^{ \prime}$. Знак «-» связан с интервалом изменения 0 в полярных координатах.
Второе решение обладает теми преимуществами, что здесь нам не потребовалось проводить дополнительные построения, а также оно позволяет найти траекторию центра тяжести и дать интерпретацию для второго значения $\cos \theta$.
Палка длиной $d$ помещена в полусферический чан диаметром $d$. Пренебрегая толщиной палки и считая, что сила трения отсутствует, определите угол, который палка будет составлять с диаметром в положении равновесия.
Решение:
I. Если мы окажемся достаточно изобретательными и проведем дополнительные линии, показанные на рис., то немедленно получим следующие соотношения:
$y = u \sin \theta$,
$v = 2a \sin \theta$,
$v^{2} + (u + a)^{2} = 4a^{2}$.
Исключая отсюда $u$ и $v$, мы приходим к уравнению
$y = a( \sin 2 \theta - \sin \theta )$.
Если $P$ - центр тяжести нашей палки, то положение равновесия будет достигнуто в том случае, когда $P$ будет расположен в самом низком из возможных положений. Поэтому искомым углом будет тот угол, при котором у примет максимальное значение. Приравнивая к нулю $y^{ \prime}( \theta )$, мы приходим к уравнению
$4 \cos^{2} \theta - \cos \theta - 2 = 0$,
из которого находим
$\cos \theta = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}$.
Но искомый угол острый. Поэтому единственным решением задачи будет $\theta \approx 32^{ \circ}32^{ \prime}$.
II. Введем полярные координаты так, как показано на рис. Тогда траектория центра тяжести $P$ (рис.) будет задаваться уравнением
$r = 2a \cos \theta - a, - \frac{ \pi}{2} \leq \theta \leq 0$.
Для того чтобы найти наинизшее положение $P$, вспомним выражение для углового коэффициента касательной к кривой, заданной в полярных координатах,
$k = \frac{r + r^{ \prime} tg \theta}{r^{ \prime} - r tg \theta}$.
и приравняем его к нулю. Подставляя выражение $r( \theta)$ в равенство
$r + r^{ \prime} tg \theta = 0$,
мы и получим уравнение
$4 \cos^{2} \theta - \cos \theta - 2=0$.
Решая его, найдем $\theta \approx - 32^{ \circ}32^{ \prime}$. Знак «-» связан с интервалом изменения 0 в полярных координатах.
Второе решение обладает теми преимуществами, что здесь нам не потребовалось проводить дополнительные построения, а также оно позволяет найти траекторию центра тяжести и дать интерпретацию для второго значения $\cos \theta$.
