Изобразите множество точек на координатной плоскости, для координат $x$ и $y$ которых выражение значение $\frac{x - y}{ \sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ принимает наибольшее значение.
Подробнее
Даны графики двух квадратичных функций: $f(x) = a_{1}x^{2} + b_{1}x + c_{1}$ и $g(x) = a_{2}x^{2} + b_{2}x + c_{2}$, имеющие одинаковые направления «ветвей». Абсциссы их точек пересечения положительны, оси симметрии могут не совпадать (см. рисунок). Сравните соответствующие коэффициенты трехчленов.
Подробнее
Решите уравнение $15(x + 1) = |x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + |x - 4| + |x - 5|$.
Подробнее
Известно, что графики уравнений $y = x^{2} + x - 83$ и $x = y^{2} + y - 84$ пересекаются в четырех точках. Существует ли окружность, содержащая эти четыре точки?
Подробнее
К параболам, заданным уравнениями $y = x^{2} + 4$ и $y = - x^{2} + 2x$, проведены две общие касательные. Докажите, что четырехугольник, вершинами которого служат точки касания, является параллелограммом.
Подробнее
Может ли график функции $y = \frac{ax^{2} + bx + c}{kx + l}$ иметь следующий вид (см. рисунок)?
Подробнее
Дана функция $f(x) = \left | 4-4 \left | x \right | \right | -2$. Сколько решений имеет уравнение $f(f(x)) = x$?
Подробнее
Для каких $а$ существует функция $f: R \mapsto R$, отличная от константы, такая, что $f(a(x + y)) = f(x) + f(y)$?
Подробнее
O функции $f(x)$, заданной на всей действительной прямой, известно, что при любом $a > 1$ функция $f(x)+f(ax)$ непрерывна на всей прямой. Докажите, что $f(x)$ также непрерывна на всей прямой.
Подробнее
По данному натуральному числу $а_0$ строится последовательность $\{ а_n \}$ следующим образом $а_n+1 = a_{n}^{2} - 5$, если $а_n$ нечетно, и $ \frac {a_n}{2}$ если $a_n$ четно. Докажите, что при любом нечетном $а_0 > 5$ в последовательности $\{ a_n \}$ встретятся сколь угодно большие числа.
Подробнее
Последовательность $а_1,а_2,\cdots, а_2000$ действительных чисел такова, что для любого натурального $n, 1 \leq n \leq 2000$, выполняется равенство $a_{1}^{3} + a_{2}^{3} + \cdots + a_{n}^{3} = (а_1 + а_2 + \cdots + а_n)^2$. Докажите, что все члены этой последовательности - целые числа.
Подробнее
Длины сторон многоугольника равны $а_1, а_2, \cdots, а_n$. Квадратный трехчлен $f(x)$ таков, что $f(а_1) = f(а_2 +\cdots + а_n)$. Докажите, что если $A$ - сумма длин нескольких сторон многоугольника, $B$ - сумма длин остальных его сторон, то $f(A) = f (B)$.
Подробнее
Дана последовательность $\{ x_k \}$ такая, что $x_1 = 1, x_{n+l} = n \sin x_n + 1$. Докажите, что последовательность непериодична.
Подробнее
На оси $O_x$ произвольно расположены различные точки $X_1,\cdots, X_n, n \geq 3$. Построены все параболы, задаваемые приведенными квадратными трехчленами и пересекающие ось $O_x$ в данных точках (и не пересекающие ось в других точках). Пусть $y = f_1,\cdots, y = f_m$ - функции, задающие эти параболы. Докажите, что парабола $y = f_1 + \cdots + f_m$ пересекает ось $O_x$ в двух точках.
Подробнее
На отрезке $[0,2002]$ отмечены его концы и $n - 1 > 0$ целых точек так, что длины отрезков, на которые разбился отрезок $[0,2002]$, взаимно просты в совокупности (т. е. не имеют общего делителя, большего 1). Разрешается разделить любой отрезок с отмеченными концами на $n$ равных частей и отметить точки деления, если они все целые. (Точку можно отметить второй раз, при этом она остается отмеченной.) Можно ли, повторив несколько раз эту операцию, отметить все целые точки на отрезке?
Подробнее
