Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1654
2019-01-20 
На оси $O_x$ произвольно расположены различные точки $X_1,\cdots, X_n, n \geq 3$. Построены все параболы, задаваемые приведенными квадратными трехчленами и пересекающие ось $O_x$ в данных точках (и не пересекающие ось в других точках). Пусть $y = f_1,\cdots, y = f_m$ - функции, задающие эти параболы. Докажите, что парабола $y = f_1 + \cdots + f_m$ пересекает ось $O_x$ в двух точках.
Решение:
Первое решение. По условию $f_1 = (x - x_1)(x - x_2), f_2 - (x - x_1)(x - x_3), \cdots, f_{n-1} = (x - x_1)(x - x_n), f(n) - (x - x_2)(x - x_3), \cdots, f(m) - (x - x_{n-1})(x - x_n)$, где $x_i$ - координата точки $X_i$ на оси $O_x$. Поэтому $f_1 + \cdots + f_m = \left [ \frac{n(n-1)}{2}x^2 - (n-1)(x_1 + x_2 + \cdots + x_n)x + (x_1x_2 + x_1x_3 + \cdots + x_{n-1}x_{n}) \right ]$. Найдем дискриминант этого трехчлена: $D = (n-1)^2(x_1 +\cdots+ x_n)^2-2n(n-1)(x_1x_2 +\cdots + x_{n-1}x_n) = (n-1)[(n - 1)(x_1^2 + \cdots+ x_n^2 + 2x_1x_2 + \cdots + 2x_{n-1}x_n)^2 - 2n(n-1)(x_1x_2 + \cdots +x_{n-1}x_n)] = (n-1)[(x_1 - x_2)^2 + (x_1 - x_3)^2 + \cdots + (x_{n-1} - x_n)^2] > 0$.
Отсюда следует утверждение задачи.
Второе решение. Прибавив к удвоенной сумме $2S = 2(f_1 +\cdots + f_m)$ слагаемые $y_1 = (x - x_1)^2, \cdots, y_n = (x - x_n)^2$, получим $2S_1 = (x - x_1)[(x - x_1) + (x - x_2) + \cdots + (x - x_n)]^2$, получим $2S_1 = (x-x_1)[(x-x_1)+(x- x_2) + \cdots + (x - x_n)_2] + \cdots + (x-x_n)[(x-x_1) + \cdots + (x-x_n)] = n^2(x - \frac{x_1+\cdots+x_n}{n})^2$.
Мы получили, что $S_1$ обращается в ноль в точке $x_0 = \frac {x_1+\cdots+x_n}{n}$. Но $S < S_1$, так как $у_i \geq 0$ и не более одного числа из $y_i$ может равняться нулю. Значит, $S(x_0) < 0$, что доказывает утверждение задачи.
На оси $O_x$ произвольно расположены различные точки $X_1,\cdots, X_n, n \geq 3$. Построены все параболы, задаваемые приведенными квадратными трехчленами и пересекающие ось $O_x$ в данных точках (и не пересекающие ось в других точках). Пусть $y = f_1,\cdots, y = f_m$ - функции, задающие эти параболы. Докажите, что парабола $y = f_1 + \cdots + f_m$ пересекает ось $O_x$ в двух точках.
Решение:
Первое решение. По условию $f_1 = (x - x_1)(x - x_2), f_2 - (x - x_1)(x - x_3), \cdots, f_{n-1} = (x - x_1)(x - x_n), f(n) - (x - x_2)(x - x_3), \cdots, f(m) - (x - x_{n-1})(x - x_n)$, где $x_i$ - координата точки $X_i$ на оси $O_x$. Поэтому $f_1 + \cdots + f_m = \left [ \frac{n(n-1)}{2}x^2 - (n-1)(x_1 + x_2 + \cdots + x_n)x + (x_1x_2 + x_1x_3 + \cdots + x_{n-1}x_{n}) \right ]$. Найдем дискриминант этого трехчлена: $D = (n-1)^2(x_1 +\cdots+ x_n)^2-2n(n-1)(x_1x_2 +\cdots + x_{n-1}x_n) = (n-1)[(n - 1)(x_1^2 + \cdots+ x_n^2 + 2x_1x_2 + \cdots + 2x_{n-1}x_n)^2 - 2n(n-1)(x_1x_2 + \cdots +x_{n-1}x_n)] = (n-1)[(x_1 - x_2)^2 + (x_1 - x_3)^2 + \cdots + (x_{n-1} - x_n)^2] > 0$.
Отсюда следует утверждение задачи.
Второе решение. Прибавив к удвоенной сумме $2S = 2(f_1 +\cdots + f_m)$ слагаемые $y_1 = (x - x_1)^2, \cdots, y_n = (x - x_n)^2$, получим $2S_1 = (x - x_1)[(x - x_1) + (x - x_2) + \cdots + (x - x_n)]^2$, получим $2S_1 = (x-x_1)[(x-x_1)+(x- x_2) + \cdots + (x - x_n)_2] + \cdots + (x-x_n)[(x-x_1) + \cdots + (x-x_n)] = n^2(x - \frac{x_1+\cdots+x_n}{n})^2$.
Мы получили, что $S_1$ обращается в ноль в точке $x_0 = \frac {x_1+\cdots+x_n}{n}$. Но $S < S_1$, так как $у_i \geq 0$ и не более одного числа из $y_i$ может равняться нулю. Значит, $S(x_0) < 0$, что доказывает утверждение задачи.
