На отрезке $[0, N]$ отмечены его концы и еще 2 точки так, что длины отрезков, на которые разбился отрезок $[0,N]$, целые и взаимно просты в совокупности. Если нашлись две отмеченные точки $A$ и $B$ такие, что расстояние между ними кратно 3, то можно разделить отрезок $AB$ на 3 равных части, отметить одну из точек деления и стереть одну из точек $A, B$. Верно ли, что за несколько таких действий можно отметить любую наперед заданную целую точку отрезка $[0, N]$?
Подробнее
Докажите, что из произвольного множества трехзначных чисел, включающего не менее четырех чисел, взаимно простых в совокупности, можно выбрать четыре числа, также взаимно простых в совокупности.
Подробнее
Функции $f(x)- x$ и $f(x^2) - x^6$ определены при всех положительных $x$ и возрастают. Докажите, что функция $f(x^3)- \frac { \sqrt {3}}{2}x^6$ также возрастает при всех положительных $x$.
Подробнее
Может ли в наборе из шести чисел $ \left \{ a;b;c; \frac {a^2}{b}; \frac {b^2}{c}; \frac {c^2}{a} \right \}$, где $a, b,c$ - положительные числа, оказаться ровно три различных числа?
Подробнее
Набор пятизначных чисел $\{ N_1,\cdots, N_k \}$ таков, что любое пятизначное число, все цифры которого идут в возрастающем порядке, совпадает хотя бы в одном разряде хотя бы с одним их чисел $N_1, \cdots, N_k$. Найдите наименьшее возможное значение $k$.
Подробнее
Можно ли во всех точках плоскости с целыми координатами записать натуральные числа так, чтобы три точки с целыми координатами лежали на одной прямой тогда и только тогда, когда записанные в них числа имели общий делитель, больший единицы?
Подробнее
Существует ли такая бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия ${a_n}_{n\in N}$ из натуральных чисел, что произведение $a_n + \cdots + a_{n+9}$ делится на сумму $a_n + \cdots + a_{n+9}$ при любом натуральном $n$?
Подробнее
Арифметическая прогрессия $a_1, a_2,\cdots$, состоящая из натуральных чисел, такова, что при любом n произведение $an \cdot a_{n+31}$ делится на 2005. Можно ли утверждать, что все члены прогрессии делятся на 2005?
Подробнее
На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник, стороны которого образуют углы в $45^{\circ}$ с линиями сетки, а вершины не лежат на линиях сетки. Может ли каждую сторону прямоугольника пересекать нечетное число линий сетки?
Подробнее
Назовем усреднением последовательности $\{ a_{k} \}$ действительных чисел последовательность $\{ {a}^{ \prime}_k \}$ с общим членом ${a}^{ \prime} _k = \frac{a_k + a_{k+1}}{2}$. Рассмотрим последовательности: $\{ a_k \}$, $\{ a^{ \prime}_k \}$ - ее усреднение, $\{ a^{ \prime \prime}_k \}$ - усреднение последовательности $\{ a^{ \prime}_k \}$, и т.д. Если все эти последовательности состоят из целых чисел, то будем говорить, что последовательность $\{ а_{k} \}$ - хорошая. Докажите, что если последовательность ${x_к}$ - хорошая, то последовательность $\{ x_k^{2} \}$ - тоже хорошая.
Подробнее
Найдите все функции $f(x)$, определенные при всех положительных $x$, принимающие положительные значения и удовлетворяющие при любых положительных $x$ и $у$ равенству $f(x^y) = f(x)^{f(y)}$.
Подробнее
Плоскость разбита двумя семействами параллельных прямых на единичные квадратики. Назовем каемкой квадрата $n \times n$, состоящего из квадратиков разбиения, объединение тех квадратиков, которые хотя бы одной из своих сторон примыкают изнутри к его границе. Докажите, что существует ровно один способ покрытия квадрата $100 \times 100$, состоящего из квадратиков разбиения, неперекрывающимися каемками пятидесяти квадратов. (Каемки могут и не содержаться в квадрате $100 \times 100$).
Подробнее
Функции $f(x)$ и $g(x)$ определены на множестве целых чисел, не превосходящих по модулю 1000. Обозначим через $m$ число пар $(x, y)$, для которых $f(x) = g(y)$, через $n$ - число пар, для которых $f(x) = f(y)$, а через $к$ - число пар, для которых $g(x) = g(y)$. Докажите, что $2m \leq n+k$.
Подробнее
Внутри выпуклого стоугольника выбрано $k$ точек, $2 \leq k \leq 50$. Докажите, что можно отметить $2k$ вершин стоугольника так, чтобы все выбранные точки оказались внутри $2k$-угольника с отмеченными вершинами.
Подробнее
Дана последовательность натуральных чисел $а_1, а_2, \cdots, a_n, \cdots $, в которой $а_1$ не делится на 5 и для всякого $n$ имеет место равенство $a_{n+1} = a_n + b_n$: где $b_n$ - последняя цифра числа $a_n$. Докажите, что последовательность содержит бесконечно много степеней двойки.
Подробнее
