Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1453
2018-12-13 
Может ли график функции $y = \frac{ax^{2} + bx + c}{kx + l}$ иметь следующий вид (см. рисунок)?
Решение:
Это можно доказать несколькими способами.
Первый способ. Пусть график имеет указанный вид, тогда существует прямая, пересекающая его в четырех точках. Пусть ее уравнение имеет вид $y = mx + n$, тогда уравнение $\frac{ax^{2} + bx + c}{kx + l} = mx + n$ имеет четыре корня, но его следствием является квадратное уравнение, то есть, оно не может иметь более двух корней. Получено противоречие, следовательно, график данной функции не может иметь такой вид.
Второй способ. Формулу, задающую данную функцию, можно привести к виду: $y = px + \frac{qx + t}{kx + l}$. При $k \neq 0 \: lim_{z \rightarrow \pm \infty} \frac{qx + t}{kx + l} = \frac{q}{k}$, поэтому прямая $y = px + \frac{q}{k}$ должна являться асимптотой графика данной функции как при $x \rightarrow + \infty$, так и при $x \rightarrow - \infty$, что не соответствует виду графика данной функции.
Ответ: нет, не может.
Может ли график функции $y = \frac{ax^{2} + bx + c}{kx + l}$ иметь следующий вид (см. рисунок)?
Решение:
Это можно доказать несколькими способами.
Первый способ. Пусть график имеет указанный вид, тогда существует прямая, пересекающая его в четырех точках. Пусть ее уравнение имеет вид $y = mx + n$, тогда уравнение $\frac{ax^{2} + bx + c}{kx + l} = mx + n$ имеет четыре корня, но его следствием является квадратное уравнение, то есть, оно не может иметь более двух корней. Получено противоречие, следовательно, график данной функции не может иметь такой вид.
Второй способ. Формулу, задающую данную функцию, можно привести к виду: $y = px + \frac{qx + t}{kx + l}$. При $k \neq 0 \: lim_{z \rightarrow \pm \infty} \frac{qx + t}{kx + l} = \frac{q}{k}$, поэтому прямая $y = px + \frac{q}{k}$ должна являться асимптотой графика данной функции как при $x \rightarrow + \infty$, так и при $x \rightarrow - \infty$, что не соответствует виду графика данной функции.
Ответ: нет, не может.
