Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1573
2019-01-19 
O функции $f(x)$, заданной на всей действительной прямой, известно, что при любом $a > 1$ функция $f(x)+f(ax)$ непрерывна на всей прямой. Докажите, что $f(x)$ также непрерывна на всей прямой.
Решение:
Мы воспользуемся следующими свойствами непрерывных функций:
(i) сумма и разность непрерывных функций - непрерывные функции;
(ii) если $g(x)$ - непрерывная функция, функция $g(ax)$ также непрерывна.
Теперь заметим, что по условию непрерывны функции $f(x) + f(2x)\:и f(x) + f(4x)$, а в силу свойства (ii) вместе с функцией $f(x) + f(2x)$ непрерывна и функция $f(2x) + f(4x)$. Далее, по свойству (i) непрерывна функция
$(f(x) + f(2x)) + (f(x) + f(4x)) - (f(2x) + f(4x)) = 2f(x)$,
а, значит, и функция $f(x)$.
O функции $f(x)$, заданной на всей действительной прямой, известно, что при любом $a > 1$ функция $f(x)+f(ax)$ непрерывна на всей прямой. Докажите, что $f(x)$ также непрерывна на всей прямой.
Решение:
Мы воспользуемся следующими свойствами непрерывных функций:
(i) сумма и разность непрерывных функций - непрерывные функции;
(ii) если $g(x)$ - непрерывная функция, функция $g(ax)$ также непрерывна.
Теперь заметим, что по условию непрерывны функции $f(x) + f(2x)\:и f(x) + f(4x)$, а в силу свойства (ii) вместе с функцией $f(x) + f(2x)$ непрерывна и функция $f(2x) + f(4x)$. Далее, по свойству (i) непрерывна функция
$(f(x) + f(2x)) + (f(x) + f(4x)) - (f(2x) + f(4x)) = 2f(x)$,
а, значит, и функция $f(x)$.
