Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1447
2018-12-13 
К параболам, заданным уравнениями $y = x^{2} + 4$ и $y = - x^{2} + 2x$, проведены две общие касательные. Докажите, что четырехугольник, вершинами которого служат точки касания, является параллелограммом.
Решение:
Первый способ. Так как данные параболы имеют противоположные коэффициенты при $x^{2}$, то существует точка С, при симметрии относительно которой одна из парабол переходит в другую. Точка $A(0; 4)$ - «вершина» параболы $y = x^{2} +4; B(1; 1)$ - «вершина» параболы $y = -(x - 1)^{2} + 1$. Поэтому, $C \left ( \frac{1}{5}; \frac{5}{2} \right )$ ). Общие касательные двух парабол являются неподвижными прямыми этой центральной симметрии, то есть проходят через точку С (для обоснования этого факта достаточно рассмотреть К - точку касания на одной из парабол и прямую КС, которая пройдет через точку касания другой параболы, так как при любом движении образ пересечения фигур равен пересечению их образов). Четырехугольник с вершинами в точках касания является параллелограммом, так как диагонали этого четырехугольника точкой С их пересечения делятся пополам.
Второй способ. Пусть прямая касается параболы $y = x^{2} + 4$ в точке с абсциссой $a$, тогда уравнение этой касательной: $y = 2ax - a^{2} + 4$. Пусть прямая касается параболы $y = - x^{2} + 2x$ в точке с абсциссой $b$, тогда уравнение этой касательной: $y = (-2b + 2)x + b^{2}$. Так как эта прямая одновременно является касательной к двум параболам, то можно составить систему уравнении:
$\begin{cases} 2a = - 2b + 2, \\ - a^{2} + 4 = b^{2} \end{cases}$.
Ее решения:
$\begin{cases} a = \frac{1 + \sqrt{7} }{2}, \\ b = \frac{1 - \sqrt{2} }{2}, \end{cases}$.
или
$\begin{cases} a = \frac{1 - \sqrt{7} }{2}, \\ b = \frac{1 + \sqrt{2} }{2}, \end{cases}$.
Координаты вершин четырехугольника:
$\left( \frac{1 + \sqrt{7} }{2}; \frac{12 + \sqrt{7} }{ 2} \right ); \left( \frac{1 - \sqrt{7} }{2}; \frac{12 - \sqrt{7} }{ 2} \right ); \left( \frac{1 - \sqrt{7} }{2}; - \frac{2 + \sqrt{7} }{ 2} \right ); \left( \frac{1 + \sqrt{7} }{2}; \frac{-2 + \sqrt{7} }{ 2} \right )$.
Координаты середины отрезка с координатами концов $\left ( \frac{1 + \sqrt{7} }{2}; \frac{12 + \sqrt{7} }{2} \right )$ и $\left ( \frac{1 - \sqrt{7} }{2}; - \frac{2 + \sqrt{7} }{2} \right ) - \left ( \frac{1}{2} ; 2 \frac{1}{2} \right )$. Координаты середины отрезка с координатами концов $\left ( \frac{1 - \sqrt{7} }{2}; \frac{12 - \sqrt{7} }{2} \right )$ и $\left ( \frac{1 + \sqrt{7} }{2}; \frac{-2 + \sqrt{7} }{2} \right ) - \left ( \frac{1}{2} ; 2 \frac{1}{2} \right )$. Следовательно, четырехугольник с вершинами в точках касания - параллелограмм.
К параболам, заданным уравнениями $y = x^{2} + 4$ и $y = - x^{2} + 2x$, проведены две общие касательные. Докажите, что четырехугольник, вершинами которого служат точки касания, является параллелограммом.
Решение:
Первый способ. Так как данные параболы имеют противоположные коэффициенты при $x^{2}$, то существует точка С, при симметрии относительно которой одна из парабол переходит в другую. Точка $A(0; 4)$ - «вершина» параболы $y = x^{2} +4; B(1; 1)$ - «вершина» параболы $y = -(x - 1)^{2} + 1$. Поэтому, $C \left ( \frac{1}{5}; \frac{5}{2} \right )$ ). Общие касательные двух парабол являются неподвижными прямыми этой центральной симметрии, то есть проходят через точку С (для обоснования этого факта достаточно рассмотреть К - точку касания на одной из парабол и прямую КС, которая пройдет через точку касания другой параболы, так как при любом движении образ пересечения фигур равен пересечению их образов). Четырехугольник с вершинами в точках касания является параллелограммом, так как диагонали этого четырехугольника точкой С их пересечения делятся пополам.
Второй способ. Пусть прямая касается параболы $y = x^{2} + 4$ в точке с абсциссой $a$, тогда уравнение этой касательной: $y = 2ax - a^{2} + 4$. Пусть прямая касается параболы $y = - x^{2} + 2x$ в точке с абсциссой $b$, тогда уравнение этой касательной: $y = (-2b + 2)x + b^{2}$. Так как эта прямая одновременно является касательной к двум параболам, то можно составить систему уравнении:
$\begin{cases} 2a = - 2b + 2, \\ - a^{2} + 4 = b^{2} \end{cases}$.
Ее решения:
$\begin{cases} a = \frac{1 + \sqrt{7} }{2}, \\ b = \frac{1 - \sqrt{2} }{2}, \end{cases}$.
или
$\begin{cases} a = \frac{1 - \sqrt{7} }{2}, \\ b = \frac{1 + \sqrt{2} }{2}, \end{cases}$.
Координаты вершин четырехугольника:
$\left( \frac{1 + \sqrt{7} }{2}; \frac{12 + \sqrt{7} }{ 2} \right ); \left( \frac{1 - \sqrt{7} }{2}; \frac{12 - \sqrt{7} }{ 2} \right ); \left( \frac{1 - \sqrt{7} }{2}; - \frac{2 + \sqrt{7} }{ 2} \right ); \left( \frac{1 + \sqrt{7} }{2}; \frac{-2 + \sqrt{7} }{ 2} \right )$.
Координаты середины отрезка с координатами концов $\left ( \frac{1 + \sqrt{7} }{2}; \frac{12 + \sqrt{7} }{2} \right )$ и $\left ( \frac{1 - \sqrt{7} }{2}; - \frac{2 + \sqrt{7} }{2} \right ) - \left ( \frac{1}{2} ; 2 \frac{1}{2} \right )$. Координаты середины отрезка с координатами концов $\left ( \frac{1 - \sqrt{7} }{2}; \frac{12 - \sqrt{7} }{2} \right )$ и $\left ( \frac{1 + \sqrt{7} }{2}; \frac{-2 + \sqrt{7} }{2} \right ) - \left ( \frac{1}{2} ; 2 \frac{1}{2} \right )$. Следовательно, четырехугольник с вершинами в точках касания - параллелограмм.
