Дана функция
$
f(x) = \begin{cases} 0& \text{при}\: x = pi/2 + k \pi, k \in \mathbf{Z},\\
1/(2 + tg^{2} \: x)0,& \text{при остальных значениях}\: x. \end{cases}$
Доказать, что функция $g(x) = f(x) + f(ax)$ периодична тогда и только тогда, когда $a \in \mathbf{Q}$.
Подробнее
Пусть непрерывные функции $f(x)$ и $g(x)$ удовлетворяют тождеству
$f(g(x)) = g(f(x)), x \in \mathbf{R}$.
Доказать, что если уравнение $f(x) = g(x)$ не имеет действительных решений, то их не имеет также и уравнение $f(f(x)) = g(g(x))$.
Подробнее
Найти все числа $d \in (0; 1]$, обладающие следующим свойством: если $f(x)$ - произвольная непрерывная функция, определенная при $x \in [0; 1]$, причем $f(0) = f(1)$, то существует число $x_{0} \in [0; 1 – d]$, для которого
$f(x_{0}) = f(x_{0} + d)$.
Подробнее
Пусть $I = (0; 1]$. Для заданного значения $\alpha \in (0; 1)$ определим функцию $f: I \rightarrow I$ следующим образом:
$
f(x) = \begin{cases} x + (1-a)& \text{для}\: 0 < x \leq a,\\
x - a& \text{для}\: a < x \leq 1. \end{cases}$
Доказать, что для любого интервала $J \subset I$ существует такое число $n \in \mathbf{N}$, что пересечение $f^{N}(J) \bigcap J$ не пусто.
Подробнее
Для заданной возрастающей функции $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ определим функцию $g(x, y)$ формулой
$g(x, y) = \frac{}{}, x \in \mathbf{R}, y > 0$.
Пусть для всех $y> 0$ при $x = 0$ и для всех $y \in (0; |x|]$ при $x \neq 0$ выполнены неравенства
$2^{-1} < g (x, y) < 2$.
Доказать, что при всех $x \in \mathbf{R}, y >0$ справедливы оценки
$14^{-1} < g(x, y) < 14$.
Подробнее
Функция $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ удовлетворяет тождеству
$f(xy) \equiv \frac{f(x) + f(y)}{x+y}, x,y \in \mathbf{R}, x + y \neq 0$.
Существует ли такое значение $x \in \mathbf{R}$, для которого $f(x) \neq 0$?
Подробнее
Найти все функции $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, удовлетворяющие тождеству
$xf(x) + yf(x) \equiv (x+y)f(x)f(y), x,y \in \mathbf{R}$.
Подробнее
Пусть $M$ - множество функций $f_{1} \mathbf{Z} \rightarrow \mathbf{R}$, удовлетворяющих условию $f(0) \neq 0$ и тождеству
$f(n)f(m) \equiv f(n+m) + f(n-m), n,m \in \mathbf{Z}$.
Найти: а) все функции $f(n) \in M$, для которых $g(1) = 5/2$; б) все функции $f(n) \in M$, для которых $f(1) = \sqrt{3}$.
Подробнее
Найти все функции $f: \mathbf{Z}^{+} \rightarrow \mathbf{R}$, удовлетворяющие тождеству
$f(n + m) + f(n - m) \equiv f(3n), n,m \in \mathbf{Z}^{+}, n \geq m$.
Подробнее
Функции $f, g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ непостоянны и удовлетворяют двум тождествам
$f(x + y) \equiv f(x)g(y) + g(x)f(y)$,
$g(x + y) = g(x)g(y) - f(x)f(y)$,
$x, y \in \mathbf{R}$. Найти все возможные значения $f(0)$ и $g(0)$.
Подробнее
Найти все функции $f: \mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{Q}$, удовлетворяющие условию $f(1) = 2$ и тождеству
$f(xy) = f(x)f(y) – f(x+y) + 1, x,y \in \mathbf{Q}$.
Подробнее
Функция $f: \mathbf{Z} \rightarrow \mathbf{R}$ удовлетворяет условиям
$ f(n) = \begin{cases} n-10,& \text{если}\: n>100 \\
f(f(n+11)),& \text{если}\: n \geq 100,
\end{cases}$
при $n \in \mathbf{Z}$. Доказать, что для любого значения $n \leq 100$ справедливо равенство $f(n) = 91$.
Подробнее
Функции $f, g, h: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$ удовлетворяют следующим трем условиям:
а) функция $h(n)$ не принимает никакое значение более чем в одной точке $n \in \mathbf{N}$;
б) множество значении функции $g(n)$ есть $\mathbf{N}$;
в) $f(n) \equiv g(n) – h(n) + 1, n \in \mathbf{N}$.
Доказать. что справедливо тождество $f(n) \equiv 1, n \in \mathbf{N}$.
Подробнее
Доказать, что существует функции $f: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$, удовлетворяющая тождеству
$f(f(n)) \equiv n^{2}, n \in \mathbf{N}$.
Подробнее
Рассматриваются непостоянные функции $f(n, m)$, определенные на множестве всех пар целых чисел, принимающие целочисленные значения и удовлетворяющие тождеству
$f(n, m) \equiv \frac{1}{4}(f(n – 1, m) + f(n + 1, m) + f(n, m - 1) + f(n, m + 1)), n,m \in \mathbf{Z}$. Доказать, что: а) такие функции существуют; б) дня любого значении $k \in \mathbf{Z}$ каждая такая функция принимает значения как большие $k$, так и меньшие $k$.
Подробнее