ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-12-08   
Изобразите множество точек на координатной плоскости, для координат $x$ и $y$ которых выражение значение $\frac{x - y}{ \sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ принимает наибольшее значение.


Решение:


$\frac{x - y}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} } } = \frac{x}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} } } - \frac{y}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} } }$.

Существует такое $\alpha$, что $\frac{x}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} } } = \cos \alpha$, a $\frac{y}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} } } = \sin \alpha$. Имеем: $\cos \alpha - \sin \alpha = \sqrt{2} \cos \left ( \alpha + \frac{ \pi}{4} \right ) \leq \sqrt{2}$, причем значение $\sqrt{2}$ достигается, если $\cos \left ( \alpha + \frac{ \pi}{4} \right ) = 1$, то ecть, при $\alpha = - \frac{ \pi}{4} + 2 \pi n$, где $n \in Z$. Декартовы координаты искомых точек находим, решая систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{x}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} } } = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \frac{y}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} } } = - \frac{ \sqrt{2} }{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y = - x \\ x > 0 \\ y < 0 \end{cases}$

Ответ: см. рис.