Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1379
2018-12-08 
Даны графики двух квадратичных функций: $f(x) = a_{1}x^{2} + b_{1}x + c_{1}$ и $g(x) = a_{2}x^{2} + b_{2}x + c_{2}$, имеющие одинаковые направления «ветвей». Абсциссы их точек пересечения положительны, оси симметрии могут не совпадать (см. рисунок). Сравните соответствующие коэффициенты трехчленов.
Решение:
Так как $f(0) = c_{1}$ и $g(0) = c_{2}$, то $c_{1} > c_{2} > 0$. Так как «ветви» парабол направлены вверх и парабола $g(x)$ более «пологая», то $a_{1} > a_{2} > 0$. Рассмотрим функцию $h(x) = f(x) - g(x)$. Пусть $x_{1}$ и $x_{2}$ - абсциссы точек пересечения данных парабол, тогда $x_{1}$ и $x_{2}$ - нули функции $h(x)$. Так как $h(x) = (a_{1} - a_{2})x^{2} + (b_{1} - b_{2})x + (c_{1} - c_{2})$, то по теореме Виета имеем, что $x_{1} + x_{2} = - \frac{b_{1} - b_{2} }{a_{1} - a_{1} }$. Учитывая, что $a_{1} - a_{2} > 0, x_{1} > 0$ и $x_{2} > 0$, получим: $b_{1} - b_{2} = - (x_{1} + x_{2})(a_{1} - a_{2} ) < 0$. Следовательно, $b_{1} < b_{2}$.
Ответ: $a_{1} > a_{2}; b_{1} < b_{2}; c_{1} > c_{2}$.
Даны графики двух квадратичных функций: $f(x) = a_{1}x^{2} + b_{1}x + c_{1}$ и $g(x) = a_{2}x^{2} + b_{2}x + c_{2}$, имеющие одинаковые направления «ветвей». Абсциссы их точек пересечения положительны, оси симметрии могут не совпадать (см. рисунок). Сравните соответствующие коэффициенты трехчленов.
Решение:
Так как $f(0) = c_{1}$ и $g(0) = c_{2}$, то $c_{1} > c_{2} > 0$. Так как «ветви» парабол направлены вверх и парабола $g(x)$ более «пологая», то $a_{1} > a_{2} > 0$. Рассмотрим функцию $h(x) = f(x) - g(x)$. Пусть $x_{1}$ и $x_{2}$ - абсциссы точек пересечения данных парабол, тогда $x_{1}$ и $x_{2}$ - нули функции $h(x)$. Так как $h(x) = (a_{1} - a_{2})x^{2} + (b_{1} - b_{2})x + (c_{1} - c_{2})$, то по теореме Виета имеем, что $x_{1} + x_{2} = - \frac{b_{1} - b_{2} }{a_{1} - a_{1} }$. Учитывая, что $a_{1} - a_{2} > 0, x_{1} > 0$ и $x_{2} > 0$, получим: $b_{1} - b_{2} = - (x_{1} + x_{2})(a_{1} - a_{2} ) < 0$. Следовательно, $b_{1} < b_{2}$.
Ответ: $a_{1} > a_{2}; b_{1} < b_{2}; c_{1} > c_{2}$.
