Докажите, что любую функцию, определенную на всей оси, можно представить в виде суммы двух функций, график каждой из которой имеет ось симметрии.
Подробнее
На плоскости отмечены две точки на расстоянии 1. Разрешается, измерив циркулем расстояние между двумя отмеченными точками, провести окружность с центром в любой отмеченной точке с измеренным радиусом. Линейкой разрешается провести прямую через любые две отмеченные точки. При этом отмечаются новые точки - точки пересечения построенных линий. Пусть $Ц(n)$ - наименьшее число линий, проведение которых одним циркулем позволяет получить две отмеченные точки на расстоянии $n$, $n$ - натуральное. $ЛЦ(n)$ - то же, но циркулем и линейкой. Докажите, что последовательность $Ц(n)/ЛЦ(n)$ неограничена.
Подробнее
Докажите, что для любого натурального числа $а_1 > 1$ существует возрастающая последовательность натуральных чисел $а_1, а_2, а_3, \cdots$ такая, что $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \cdots + a_{k}^{2}$ делится на $а_1 + а_2 + \cdots + a_k$ при всех $k \geq 1$.
Подробнее
Докажите, что в арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, и разностью, равной 729, найдется бесконечно много членов, являющихся степенью числа 10.
Подробнее
Докажите, что если числа $а_1, а_2,\cdots, а_m$ отличны от нуля и для любого целого $k = 0,1,\cdots, n (n < m - 1)$
$а_1 + а_2 \cdot 2^k + a_3 \cdot 3^k + \cdots + а_m \cdot m^k = 0$,
то в последовательности $а_1, а_2, \cdots, а_m$ есть по крайней мере $n +1$ пара соседних чисел, имеющих разные знаки.
Подробнее
Существует ли такое конечное множество $M$ ненулевых действительных чисел, что для любого натурального $n$ найдется многочлен степени не меньше $n$ с коэффициентами из множества $M$, все корни которого действительны и также принадлежат $M$?
Подробнее
Угол, образованный лучами $у = x$ и $у = 2x$ при $x \geq 0$, высекает на параболе $у = x^2 + px + q$ две дуги. Эти дуги спроектированы на ось $0x$. Докажите, что проекция левой дуги на 1 короче проекции правой.
Подробнее
Прямые, параллельные оси $O_x$, пересекают график функции $у = ax^3 + bx^2 + cx + d$: первая - в точках $A, D$ и $E$, вторая - в точках $B, C$ и $F$ (рис.). Докажите, что длина проекции дуги $CD$ на ось $O_x$ равна сумме длин проекций дуг $AB$ и $EF$.
Подробнее
Часть подмножеств некоторого конечного множества выделена. Каждое выделенное подмножество состоит в точности из $2k$ элементов ($k$ - фиксированное натуральное число). Известно, что в каждом подмножестве, состоящем не более чем из $(k + 1)^2$ элементов, либо не содержится ни одного выделенного подмножества, либо все в нем содержащиеся выделенные подмножества имеют общий элемент. Докажите, что все выделенные подмножества имеют общий элемент.
Подробнее
На множестве действительных чисел задана операция $ \ast $, которая каждым двум числам $а$ и $b$ ставит в соответствие число $а \ast b$. Известно, что равенство $(а \ast b) \ast с = а + b + с$ выполняется для любых трех чисел $a, b$ и $с$. Докажите, что $а \ast b = а + b$.
Подробнее
Найдите все бесконечные ограниченные последовательности натуральных чисел $а_1, а_2, а_3,\cdots$, для всех членов которых, начиная с третьего, выполнено
$a_{n} = \frac{a_{n-1} + a_{n-2} }{НОД(a_{n-1}, a_{n-2} ) }$.
Подробнее
На доску последовательно выписываются числа $a_1 = 1,a_2, a_3, \cdots$ по следующим правилам: $a_{n+1} = a_n - 2$, если число $a_n - 2$ - натуральное и еще не выписано на доску, в противном случае $a_{n+1} = a_n + 3$. Докажите, что все квадраты натуральных чисел появятся в этой последовательности при прибавлении 3 к предыдущему числу.
Подробнее
Пусть $M$ - конечное множество чисел. Известно, что среди любых трех его элементов найдутся два, сумма которых принадлежит $M$. Какое наибольшее число элементов может быть в $M$?
Подробнее
Найдите все функции $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$, которые для всех $x,y, z \in \mathbb{R}$ удовлетворяют неравенству $f(x + y) + f(y + z ) + f ( z + x) \geq 3f (x + 2y + 3z)$.
Подробнее
Докажите, что можно разбить все множество натуральных чисел на 100 непустых подмножеств так, чтобы в любой тройке $a, b, с$ такой, что $a + 99b = с$, нашлись два числа из одного подмножества.
Подробнее
