Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1597
2019-01-19 
По данному натуральному числу $а_0$ строится последовательность $\{ а_n \}$ следующим образом $а_n+1 = a_{n}^{2} - 5$, если $а_n$ нечетно, и $ \frac {a_n}{2}$ если $a_n$ четно. Докажите, что при любом нечетном $а_0 > 5$ в последовательности $\{ a_n \}$ встретятся сколь угодно большие числа.
Решение:
Докажем, что в рассматриваемой последовательности каждое нечетное число будет больше предыдущего нечетного числа. Пусть число $a_n$ нечетно, т. е. $a_n = 2k + 1$. Тогда $a_{n+1} = (2k +1)^2 - 5 = 4k^2 +4k - 4$, откуда $a_{n+2} = 2k^2 + 2k - 2$ и $a_{n+3} = k^2 + k - 1$. При этом число $a_{n+3}$ нечетно и, поскольку $k > 2$, то $a_{n+3} = k^2 + k - 1 > 2k + 1 = a_n$. Таким образом, мы доказали, что $a_0 < a_3 < a_6 < \cdots < a_{3m}$, поэтому при любом $n$ имеем $a_{3n} \geq n$.
По данному натуральному числу $а_0$ строится последовательность $\{ а_n \}$ следующим образом $а_n+1 = a_{n}^{2} - 5$, если $а_n$ нечетно, и $ \frac {a_n}{2}$ если $a_n$ четно. Докажите, что при любом нечетном $а_0 > 5$ в последовательности $\{ a_n \}$ встретятся сколь угодно большие числа.
Решение:
Докажем, что в рассматриваемой последовательности каждое нечетное число будет больше предыдущего нечетного числа. Пусть число $a_n$ нечетно, т. е. $a_n = 2k + 1$. Тогда $a_{n+1} = (2k +1)^2 - 5 = 4k^2 +4k - 4$, откуда $a_{n+2} = 2k^2 + 2k - 2$ и $a_{n+3} = k^2 + k - 1$. При этом число $a_{n+3}$ нечетно и, поскольку $k > 2$, то $a_{n+3} = k^2 + k - 1 > 2k + 1 = a_n$. Таким образом, мы доказали, что $a_0 < a_3 < a_6 < \cdots < a_{3m}$, поэтому при любом $n$ имеем $a_{3n} \geq n$.
