Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1602
2019-01-19 
Последовательность $а_1,а_2,\cdots, а_2000$ действительных чисел такова, что для любого натурального $n, 1 \leq n \leq 2000$, выполняется равенство $a_{1}^{3} + a_{2}^{3} + \cdots + a_{n}^{3} = (а_1 + а_2 + \cdots + а_n)^2$. Докажите, что все члены этой последовательности - целые числа.
Решение:
Докажем индукцией по $n$, что при любом $n$ сумма $S_n = а_1 + \cdots+ a_n$ представима в виде $ \frac {1}{2}(b_n + 1)$, где $b_n$ - целое.
База индукции: $a_{1}^{3}=a_{1}^{2}\Rightarrow S_1 = a_1 = 0$ или 1, т. е. $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot 1$ или $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2$.
Индуктивный переход: $S_{n+1}^{2} = (a_1 + \cdots + a_n + a_{n+1})^2 = (S_n + a_{n+1})^2 = S_{n}^{2} + 2S_na_{n+1} + a_{n+1}^{2}$, с другой стороны ${(a_1 + \cdots + a_{n+1})}^2 = a_{1}^{3} + \cdots + a_{n}^{3} + a_{n+1}^{3} = {(a_1 + \cdots + a_n)}^2 + a_{n+1}^{3} = S_{n}^{2} + a_{n+1}^{3}$. Отсюда $2S_na_{n+1} + a_{n+1}^{3} = a_{n+1}^{3}$, т.е. либо $a_{n+1} = 0$ и тогда $S_{n+1} = S_n = \frac{1}{2}b_n (b_n + 1)$, либо $2S_n + a_{n+1} = a_{n+1}^{2} \Rightarrow b_n(b_n +1) + a_{n+1} - a_{n+1}^{2} = 0$, т.е. $a_{n+1} = b_n + 1$ или $a_{n+1} = -b_n$. В этих случаях $S_{n+1} = \frac{1}{2}b_n(b_n + 1) + b_n + 1 = \frac{1}{2} (b_n + 1)(b_n + 2)$ или $S_{n+1} = \frac{1}{2}b_n(b_n + 1) - b_n = \frac{1}{2} (b_n - 1)b_n$.
Итак, при каждом $n$ сумма $S_n$ - целая, что равносильно условию задачи.
Последовательность $а_1,а_2,\cdots, а_2000$ действительных чисел такова, что для любого натурального $n, 1 \leq n \leq 2000$, выполняется равенство $a_{1}^{3} + a_{2}^{3} + \cdots + a_{n}^{3} = (а_1 + а_2 + \cdots + а_n)^2$. Докажите, что все члены этой последовательности - целые числа.
Решение:
Докажем индукцией по $n$, что при любом $n$ сумма $S_n = а_1 + \cdots+ a_n$ представима в виде $ \frac {1}{2}(b_n + 1)$, где $b_n$ - целое.
База индукции: $a_{1}^{3}=a_{1}^{2}\Rightarrow S_1 = a_1 = 0$ или 1, т. е. $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot 1$ или $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2$.
Индуктивный переход: $S_{n+1}^{2} = (a_1 + \cdots + a_n + a_{n+1})^2 = (S_n + a_{n+1})^2 = S_{n}^{2} + 2S_na_{n+1} + a_{n+1}^{2}$, с другой стороны ${(a_1 + \cdots + a_{n+1})}^2 = a_{1}^{3} + \cdots + a_{n}^{3} + a_{n+1}^{3} = {(a_1 + \cdots + a_n)}^2 + a_{n+1}^{3} = S_{n}^{2} + a_{n+1}^{3}$. Отсюда $2S_na_{n+1} + a_{n+1}^{3} = a_{n+1}^{3}$, т.е. либо $a_{n+1} = 0$ и тогда $S_{n+1} = S_n = \frac{1}{2}b_n (b_n + 1)$, либо $2S_n + a_{n+1} = a_{n+1}^{2} \Rightarrow b_n(b_n +1) + a_{n+1} - a_{n+1}^{2} = 0$, т.е. $a_{n+1} = b_n + 1$ или $a_{n+1} = -b_n$. В этих случаях $S_{n+1} = \frac{1}{2}b_n(b_n + 1) + b_n + 1 = \frac{1}{2} (b_n + 1)(b_n + 2)$ или $S_{n+1} = \frac{1}{2}b_n(b_n + 1) - b_n = \frac{1}{2} (b_n - 1)b_n$.
Итак, при каждом $n$ сумма $S_n$ - целая, что равносильно условию задачи.
