На плоскости расположены $n$ различных окружностей радиуса 1 каждая. Доказать, что хота бы одна из них содержит дугу, не пересекающуюся ни с одной из остальных окружностей и имеющую длину не меньше $2 \pi /n$.
Подробнее
Доказать, что если для некоторой точки О, лежащей внутри четырехугольника ABCD площади треугольников ABO, ВСО, СDO, DAO одинаковы, то эта точка лежит хотя бы на одной из диагоналей АС или BD.
Подробнее
Площади четырехугольников $ABCD$ и $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ равны $S$ и $S^{\prime}$ соответственно. Доказать, что если внутри четырехугольника $ABCD$ существует точка О, для которой
$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}, \overrightarrow{OB}= \overrightarrow{B^{\prime}C^{\prime}}, \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{C^{\prime}D^{\prime}}, \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{D^{\prime}A^{\prime}}$
то $S = 2S^{\prime}$.
Подробнее
Восемь прямых, соединяющих вершины параллелограмма с серединами несмежных сторон, пересекаясь, образовали восьмиугольник. Доказать, что его площадь составляет шестую часть площади параллелограмма.
Подробнее
Диагонали выпуклого пятиугольника $ABCDE$, пересекаясь, образуют пятиугольник
$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}$ и пятиконечную звезду.
а) Найти сумму углов этой звезды при вершинах $A, B, C, D, E$.
б) Найти отношение площади пятиугольника $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}$ к площади пятиугольника $ABCDE$ при условии правильности последнего.
Подробнее
Соответственные стороны четырехугольников $ABCD$ и $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ равны. Доказать, что имеет место одно из следующих двух утверждений;
a) $BD \perp AC$ и $B^{\prime}D^{\prime} \perp A^{\prime}C^{\prime}$
б) точки $M$ и $M^{\prime}$ пересечения прямых $AC$ и $A^{\prime}C^{\prime}$ с перпендикулярами, проходящими через середины отрезков $BD$ и $B^{\prime}D^{\prime}$ соответственно, удовлетворяют равенству $MA \cdot M^{\prime}C^{\prime} = MC \cdot M^{\prime}A^{\prime}$ и либо одновременно лежат на отрезках $AC$ и $A^{\prime}C^{\prime}$ соответственно, либо одновременно лежат на их продолжениях.
Подробнее
Доказать, что если все углы выпуклого восьмиугольника равны, а отношение длин любых его соседних сторон рационально, то противоположные стороны этого восьмиугольника равны.
Подробнее
На плоскости нарисован правильный шестиугольник со стороной $a$. Для любого значения $n \in \mathbf{N}$, большего 1, построить с помощью одной линейки отрезок длины $a/n$.
Подробнее
Доказать, что если для углов равностороннего выпуклого пятиугольника $ABCDE$ выполнены неравенства $\angle A \geq \angle B \geq \angle C \geq \angle D \geq \angle E$, то этот пятиугольник правильный.
Подробнее
а) Доказать, что если вершины одного выпуклого n-угольника лежат в другом равном ему n-угольнике, то вершины этих n-угольников совпадают.
б) Верно ли утверждение а) для невыпуклых многоугольников?
в) Для любого ли невыпуклого многоугольника утверждение а) неверно?
Подробнее
Любой ли правильный 2n-угольник можно разбить на ромбы?
Подробнее
Вне параллелограмма $ABCD$ взята точка Р так, что $\angle PAB = \angle PCB$, причем вершины А и С лежат в разных полуплоскостях относительно прямой РВ. Доказать, что $\angle APB = \angle DPC$.
Подробнее
В шестиугольнике $ABCDEF$ углы при вершинах А, С, Е равны и не превосходят $180^{\circ}$, причем
$\angle ABF = \angle CBD, \angle AFB = \angle EFD$.
Доказать, что если точка $A^{\prime}$ симметрична вершине $A$ относительно диагонали BF и не лежит на прямой СE, то четырехугольник $A^{\prime}CDE$ - параллелограмм.
Подробнее
Вершины выпуклого пятиугольника ABCDE расположены так, что треугольники ABC и CDE равносторонние. Доказать, что если точка О - центр треугольника ABC, а точки М и N - середины сторон BD и АЕ соответственно, то треугольники ОМЕ и OND подобны.
Подробнее
В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ углы при вершинах $B, E$ прямые и $\angle BAC = \angle EAD$. Доказать, что если диагонали $BD$ и $CE$ пересекаются в точке О, то прямые $AO$ и $BE$ перпендикулярны.
Подробнее