Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 230
2014-06-07 
Доказать, что если все углы выпуклого восьмиугольника равны, а отношение длин любых его соседних сторон рационально, то противоположные стороны этого восьмиугольника равны.
Решение:
Без ограничения общности можно считать, что длины сторон данного восьмиугольника $A_{1}A_{2} \cdots A_{8}$ являются рациональными числами (в противном случае докажем требуемое утверждение для подобного восьмиугольника $A_{1}^{\prime}A_{2}^{\prime} \cdots A_{8}^{\prime}$ у которого $A_{1}^{\prime}A_{2}^{\prime}=1$, а значит, остальные стороны рациональны; в результате утверждение будет доказано и для исходного восьмиугольника). Рассмотрим векторы
$\mathbf{a_{i}}=\overrightarrow{A_{i}A_{i+1}}(I = 1, \cdots , 8; A_{9} = A_{1})$,
сумма которых равна 0. Так как все углы восьмиугольника равны и в сумме составляют $6 \cdot 180^{\circ}$, то каждый из углов равен $(3/4) \cdot 180^{\circ}$, углы между векторами $\mathbf{a_{i}}$ и $\mathbf{a_{i+1}} (\mathbf{a_{9}} = \mathbf{a_{1}}$) равны $(1/4) \cdot 180^{\circ} = 45^{\circ}$ (рис.). Спроектируем все векторы на ось, параллельную, например, вектору $\mathbf{a_{1}}$ и через $x$ обозначим длину проекции суммы $\mathbf{a_{1}} + \mathbf{a_{5}}$, а через $y$ - длину проекции суммы $\mathbf{a_{2}} + \mathbf{a_{4}} + \mathbf{a_{6}} + \mathbf{a_{8}}$. Так как проекция суммы $\mathbf{a_{3}} + \mathbf{a_{7}}$ равна 0 (ибо $\mathbf{a_{3}} \perp \mathbf{a_{1}}, \mathbf{a_{7}} \perp \mathbf{a_{1}}$, то $x – y = 0$. С другой стороны, длина проекции каждого из векторов $\mathbf{a_{2}}, \mathbf{a_{4}},\mathbf{a_{6}},\mathbf{a_{8}}$ равна некоторому рациональному числу, умноженному на $\cos 45^{\circ}= \sqrt{2}/2$. Поэтому имеем $x = y = z \sqrt{2}$, где $x, z \mathbf{Q}$, откуда $x = 0$ и $a_{5} = - a_{1}$. Аналогично доказывается, что
$a_{6} = – a_{2}, a_{7} = – a_{3}, a_{8} = – a_{4}$.
Следовательно, получаем
$A_{1}A_{2}=A_{5}A_{6}, A_{2}A_{3}=A_{6}A_{7}, A_{3}A_{4}=A_{7}A_{8}, A_{4}A_{5}=A_{8}A_{1}$,
что и требовалось доказать.
Доказать, что если все углы выпуклого восьмиугольника равны, а отношение длин любых его соседних сторон рационально, то противоположные стороны этого восьмиугольника равны.
Решение:
Без ограничения общности можно считать, что длины сторон данного восьмиугольника $A_{1}A_{2} \cdots A_{8}$ являются рациональными числами (в противном случае докажем требуемое утверждение для подобного восьмиугольника $A_{1}^{\prime}A_{2}^{\prime} \cdots A_{8}^{\prime}$ у которого $A_{1}^{\prime}A_{2}^{\prime}=1$, а значит, остальные стороны рациональны; в результате утверждение будет доказано и для исходного восьмиугольника). Рассмотрим векторы
$\mathbf{a_{i}}=\overrightarrow{A_{i}A_{i+1}}(I = 1, \cdots , 8; A_{9} = A_{1})$,
сумма которых равна 0. Так как все углы восьмиугольника равны и в сумме составляют $6 \cdot 180^{\circ}$, то каждый из углов равен $(3/4) \cdot 180^{\circ}$, углы между векторами $\mathbf{a_{i}}$ и $\mathbf{a_{i+1}} (\mathbf{a_{9}} = \mathbf{a_{1}}$) равны $(1/4) \cdot 180^{\circ} = 45^{\circ}$ (рис.). Спроектируем все векторы на ось, параллельную, например, вектору $\mathbf{a_{1}}$ и через $x$ обозначим длину проекции суммы $\mathbf{a_{1}} + \mathbf{a_{5}}$, а через $y$ - длину проекции суммы $\mathbf{a_{2}} + \mathbf{a_{4}} + \mathbf{a_{6}} + \mathbf{a_{8}}$. Так как проекция суммы $\mathbf{a_{3}} + \mathbf{a_{7}}$ равна 0 (ибо $\mathbf{a_{3}} \perp \mathbf{a_{1}}, \mathbf{a_{7}} \perp \mathbf{a_{1}}$, то $x – y = 0$. С другой стороны, длина проекции каждого из векторов $\mathbf{a_{2}}, \mathbf{a_{4}},\mathbf{a_{6}},\mathbf{a_{8}}$ равна некоторому рациональному числу, умноженному на $\cos 45^{\circ}= \sqrt{2}/2$. Поэтому имеем $x = y = z \sqrt{2}$, где $x, z \mathbf{Q}$, откуда $x = 0$ и $a_{5} = - a_{1}$. Аналогично доказывается, что
$a_{6} = – a_{2}, a_{7} = – a_{3}, a_{8} = – a_{4}$.
Следовательно, получаем
$A_{1}A_{2}=A_{5}A_{6}, A_{2}A_{3}=A_{6}A_{7}, A_{3}A_{4}=A_{7}A_{8}, A_{4}A_{5}=A_{8}A_{1}$,
что и требовалось доказать.
