Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 229
2014-06-07 
Соответственные стороны четырехугольников $ABCD$ и $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ равны. Доказать, что имеет место одно из следующих двух утверждений;
a) $BD \perp AC$ и $B^{\prime}D^{\prime} \perp A^{\prime}C^{\prime}$
б) точки $M$ и $M^{\prime}$ пересечения прямых $AC$ и $A^{\prime}C^{\prime}$ с перпендикулярами, проходящими через середины отрезков $BD$ и $B^{\prime}D^{\prime}$ соответственно, удовлетворяют равенству $MA \cdot M^{\prime}C^{\prime} = MC \cdot M^{\prime}A^{\prime}$ и либо одновременно лежат на отрезках $AC$ и $A^{\prime}C^{\prime}$ соответственно, либо одновременно лежат на их продолжениях.
Решение:
Пусть в четырехугольнике $ABCD$ точка О - середина отрезка $BD$, а точки $K$ и $L$ - проекции на прямую $BD$ вершин $A$ и $C$ соответственно; при этом $\overrightarrow{OK} = x \overrightarrow{BD}, \overrightarrow{OL} = y \overrightarrow{BD}$ (соответствующие элементы в четырехугольнике $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ будем помечать знаком «штрих»). Тогда имеем (рис.)
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AK} + \overrightarrow{KB}, \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AK} + \overrightarrow{KD}$,
$\overrightarrow{AB}^{2} - \overrightarrow{AD}^{2} = \overrightarrow{AK}^{2} + \overrightarrow{KB}^{2} - \overrightarrow{AK}^{2} - \overrightarrow{KD}^{2} = (\overrightarrow{KB} + \overrightarrow{KD})(\overrightarrow{KB} - \overrightarrow{KD}) =$
$= ((\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{BO})+(\overrightarrow{KD}+\overrightarrow{DO})) (\overrightarrow{DK} + \overrightarrow{KB}) = 2 \overrightarrow{KO} \cdot \overrightarrow{DB} = 2x BD^{2}$
и аналогично
$CB^{2} – CD^{2} = 2y BD^{2}, 2x^{\prime} B^{\prime}D^{\prime 2} = A^{\prime}B^{\prime 2} – A^{\prime}D^{\prime 2} = 2x BD^{2},$
$2y B^{\prime}D^{\prime 2} = C^{\prime}B^{\prime 2} – C^{\prime}D^{\prime 2} = 2yBD^{2}$.
Если $x = y$, то$x^{\prime} = y^{\prime}$ и $K = L, K^{\prime} = L^{\prime}$ т. е. имеет место утверждение а). Если же $x \neq y$, то одно из чисел $x, y$, например число $x$, не равно 0, поэтому
$\overrightarrow{MC}=(y/x) \overrightarrow{AM}$ и
$\overrightarrow{M^{\prime}C^{\prime}}=(y^{\prime}/x^{\prime}) \overrightarrow{A^{\prime}M^{\prime}}=(y/x) \overrightarrow{A^{\prime}M^{\prime}}$
откуда следует утверждение б) задачи.
Соответственные стороны четырехугольников $ABCD$ и $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ равны. Доказать, что имеет место одно из следующих двух утверждений;
a) $BD \perp AC$ и $B^{\prime}D^{\prime} \perp A^{\prime}C^{\prime}$
б) точки $M$ и $M^{\prime}$ пересечения прямых $AC$ и $A^{\prime}C^{\prime}$ с перпендикулярами, проходящими через середины отрезков $BD$ и $B^{\prime}D^{\prime}$ соответственно, удовлетворяют равенству $MA \cdot M^{\prime}C^{\prime} = MC \cdot M^{\prime}A^{\prime}$ и либо одновременно лежат на отрезках $AC$ и $A^{\prime}C^{\prime}$ соответственно, либо одновременно лежат на их продолжениях.
Решение:
Пусть в четырехугольнике $ABCD$ точка О - середина отрезка $BD$, а точки $K$ и $L$ - проекции на прямую $BD$ вершин $A$ и $C$ соответственно; при этом $\overrightarrow{OK} = x \overrightarrow{BD}, \overrightarrow{OL} = y \overrightarrow{BD}$ (соответствующие элементы в четырехугольнике $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ будем помечать знаком «штрих»). Тогда имеем (рис.)
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AK} + \overrightarrow{KB}, \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AK} + \overrightarrow{KD}$,
$\overrightarrow{AB}^{2} - \overrightarrow{AD}^{2} = \overrightarrow{AK}^{2} + \overrightarrow{KB}^{2} - \overrightarrow{AK}^{2} - \overrightarrow{KD}^{2} = (\overrightarrow{KB} + \overrightarrow{KD})(\overrightarrow{KB} - \overrightarrow{KD}) =$
$= ((\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{BO})+(\overrightarrow{KD}+\overrightarrow{DO})) (\overrightarrow{DK} + \overrightarrow{KB}) = 2 \overrightarrow{KO} \cdot \overrightarrow{DB} = 2x BD^{2}$
и аналогично
$CB^{2} – CD^{2} = 2y BD^{2}, 2x^{\prime} B^{\prime}D^{\prime 2} = A^{\prime}B^{\prime 2} – A^{\prime}D^{\prime 2} = 2x BD^{2},$
$2y B^{\prime}D^{\prime 2} = C^{\prime}B^{\prime 2} – C^{\prime}D^{\prime 2} = 2yBD^{2}$.
Если $x = y$, то$x^{\prime} = y^{\prime}$ и $K = L, K^{\prime} = L^{\prime}$ т. е. имеет место утверждение а). Если же $x \neq y$, то одно из чисел $x, y$, например число $x$, не равно 0, поэтому
$\overrightarrow{MC}=(y/x) \overrightarrow{AM}$ и
$\overrightarrow{M^{\prime}C^{\prime}}=(y^{\prime}/x^{\prime}) \overrightarrow{A^{\prime}M^{\prime}}=(y/x) \overrightarrow{A^{\prime}M^{\prime}}$
откуда следует утверждение б) задачи.
