Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 238
2014-06-07 
Вершины выпуклого пятиугольника ABCDE расположены так, что треугольники ABC и CDE равносторонние. Доказать, что если точка О - центр треугольника ABC, а точки М и N - середины сторон BD и АЕ соответственно, то треугольники ОМЕ и OND подобны.
Решение:
Обозначим через Р и Q середины отрезков ВС и АС соответственно. Заметим, что если треугольник ОРМ повернуть вокруг точки О на $60^{\circ}$ (по часовой стрелке; рис.), а затем применить к нему гомотетию с центром О и коэффициентом 2, то он перейдет в треугольник ОСЕ. Действительно, так как
$\angle COP = 60^{\circ}$ и $CO = 2 \cdot OP$
(ибо точка О - центр правильного треугольника ABC), то точка Р в результате указанных преобразований перейдет в точку С. Далее, так как
$PM \parallel DC, \angle DCE = 60^{\circ}$ и $EC = DC = 2 \cdot PM$
(ибо PM - средняя линия треугольника BCD), то отрезок РМ перейдет в отрезок СЕ, а треугольник ОРМ - в треугольник ОСЕ. Таким образом, имеем
$\angle EOM = 60^{\circ}$ и $EO =2 \cdot MO$.
Аналогично доказывается, что в результате поворота вокруг точки О на $60^{\circ}$ (против часовой стрелки) и гомотетии с центром О и коэффициентом 2 треугольник OQN перейдет в треугольник OCD, откуда
$\angle NOD = 60^{\circ}$ и $DO = 2 \cdot NO$.
Поэтому
$\triangle NOD \backsim \triangle MOE$
что и требовалось доказать.
Вершины выпуклого пятиугольника ABCDE расположены так, что треугольники ABC и CDE равносторонние. Доказать, что если точка О - центр треугольника ABC, а точки М и N - середины сторон BD и АЕ соответственно, то треугольники ОМЕ и OND подобны.
Решение:
Обозначим через Р и Q середины отрезков ВС и АС соответственно. Заметим, что если треугольник ОРМ повернуть вокруг точки О на $60^{\circ}$ (по часовой стрелке; рис.), а затем применить к нему гомотетию с центром О и коэффициентом 2, то он перейдет в треугольник ОСЕ. Действительно, так как
$\angle COP = 60^{\circ}$ и $CO = 2 \cdot OP$
(ибо точка О - центр правильного треугольника ABC), то точка Р в результате указанных преобразований перейдет в точку С. Далее, так как
$PM \parallel DC, \angle DCE = 60^{\circ}$ и $EC = DC = 2 \cdot PM$
(ибо PM - средняя линия треугольника BCD), то отрезок РМ перейдет в отрезок СЕ, а треугольник ОРМ - в треугольник ОСЕ. Таким образом, имеем
$\angle EOM = 60^{\circ}$ и $EO =2 \cdot MO$.
Аналогично доказывается, что в результате поворота вокруг точки О на $60^{\circ}$ (против часовой стрелки) и гомотетии с центром О и коэффициентом 2 треугольник OQN перейдет в треугольник OCD, откуда
$\angle NOD = 60^{\circ}$ и $DO = 2 \cdot NO$.
Поэтому
$\triangle NOD \backsim \triangle MOE$
что и требовалось доказать.
