Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 226
2014-06-07 
Площади четырехугольников $ABCD$ и $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ равны $S$ и $S^{\prime}$ соответственно. Доказать, что если внутри четырехугольника $ABCD$ существует точка О, для которой
$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}, \overrightarrow{OB}= \overrightarrow{B^{\prime}C^{\prime}}, \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{C^{\prime}D^{\prime}}, \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{D^{\prime}A^{\prime}}$
то $S = 2S^{\prime}$.
Решение:
Параллелограммы $OAMB$ и $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}N$, построенные на векторах $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$ и $\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}, \overrightarrow{B^{\prime}C^{\prime}}$ (рис.), равны, поэтому имеем
$S_{AOB}=(1/2)S_{OAMB}=(1/2)S_{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}N}=S_{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}}$.
Аналогично получаем
$S_{BOC} = S_{B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}}, S_{COD} = S_{C^{\prime}D^{\prime}A^{\prime}}, S_{DOA} = S_{D^{\prime}A^{\prime}B^{\prime}}$,
откуда
$S = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{DOA} = (S_{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}} + S_{A^{\prime}D^{\prime}C^{\prime}}) + (S_{B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}} + S_{B^{\prime}A^{\prime}D^{\prime}}) = 2S^{\prime}$.
что и требовалось доказать.
Площади четырехугольников $ABCD$ и $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ равны $S$ и $S^{\prime}$ соответственно. Доказать, что если внутри четырехугольника $ABCD$ существует точка О, для которой
$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}, \overrightarrow{OB}= \overrightarrow{B^{\prime}C^{\prime}}, \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{C^{\prime}D^{\prime}}, \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{D^{\prime}A^{\prime}}$
то $S = 2S^{\prime}$.
Решение:
Параллелограммы $OAMB$ и $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}N$, построенные на векторах $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$ и $\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}, \overrightarrow{B^{\prime}C^{\prime}}$ (рис.), равны, поэтому имеем
$S_{AOB}=(1/2)S_{OAMB}=(1/2)S_{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}N}=S_{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}}$.
Аналогично получаем
$S_{BOC} = S_{B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}}, S_{COD} = S_{C^{\prime}D^{\prime}A^{\prime}}, S_{DOA} = S_{D^{\prime}A^{\prime}B^{\prime}}$,
откуда
$S = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{DOA} = (S_{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}} + S_{A^{\prime}D^{\prime}C^{\prime}}) + (S_{B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}} + S_{B^{\prime}A^{\prime}D^{\prime}}) = 2S^{\prime}$.
что и требовалось доказать.
