Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 224
2014-06-07 
На плоскости расположены $n$ различных окружностей радиуса 1 каждая. Доказать, что хота бы одна из них содержит дугу, не пересекающуюся ни с одной из остальных окружностей и имеющую длину не меньше $2 \pi /n$.
Решение:
Пру $n = 1$ полная дуга единственной окружности имеет длину $2 \pi \geq 2 \pi /n$, т.е. утверждение задачи верно. Пусть $n \geq 2$. Предположим сначала, что центры всех $n$ окружностей лежат на одной прямой. Выберем тот из центров, относительно которого все остальные центры лежат на одной полупрямой. Тогда перпендикуляр к этой прямой, проходящий через выбранный центр, отсекает от соответствующей окружности дугу длины $\pi \geq 2 \pi / n$, которая не пересекается ни с одной из остальных окружностей. Рассмотрим теперь случай, когда центры окружностей не лежат на одной прямой. Из всех выпуклых многоугольников с вершинами в центрах (множество таких многоугольников не пусто, ибо оно содержит хотя бы один треугольник) выберем тот, вне которого лежит наименьшее число этих точек. Докажем, что вне выбранного многоугольника нет ни одной из точек. Действительно, если некоторая точка О лежит вне выбранного многоугольнику то проведем через нее прямую, не пересекающую его, и будем поворачивать ее вокруг точки О до тех пор, пока она не пройдет сначала через первую вершину А, а затем через последнюю вершину В многоугольника (если их оказалось несколько, то выберем наиболее удаленную от точки О; рис). Наконец, все вершины многоугольника, лежащие в треугольнике АОВ, заменим лишь тремя вершинами А, О, В, тогда вне полученного многоугольника будет содержаться меньше точек, чем вне выбранного. Полученное противоречие означает, что существует выпуклый k-угольник ($k \leq n$) с вершинами в центрах, в котором содержатся все центры. Так как сумма внешних углов k-угольника равна $360^{\circ}$, то найдется внешний угол, не меньший $360^{\circ}/k \geq 360^{\circ}/n$. Пусть им оказался внешний угол $B_{1}OA$ угла О k-угольника (см. рис.). Тогда перпендикуляры OL и ОМ к сторонам ОB и OA соответственно отсекают на внешней дуге окружности с центром О дугу LM длины не меньше $2 \pi /n$, так как $\angle LOM = \angle B_{1}OA$. Докажем, что эта дуга не пересекается с другими окружностями. В самом деле, пусть $N$ - произвольная точка дуги LM. Поскольку
$\angle NOA > 90^{\circ}$ и $\angle NOB > 90^{\circ}$,
то окружность с центром $N$ и радиусом 1 имеет с k-угольником единственную общую точку О. Это значит, что центр любой из данных окружностей, проходящих через точку N, должен совпадать с точкой О. Утверждение доказано.
На плоскости расположены $n$ различных окружностей радиуса 1 каждая. Доказать, что хота бы одна из них содержит дугу, не пересекающуюся ни с одной из остальных окружностей и имеющую длину не меньше $2 \pi /n$.
Решение:
Пру $n = 1$ полная дуга единственной окружности имеет длину $2 \pi \geq 2 \pi /n$, т.е. утверждение задачи верно. Пусть $n \geq 2$. Предположим сначала, что центры всех $n$ окружностей лежат на одной прямой. Выберем тот из центров, относительно которого все остальные центры лежат на одной полупрямой. Тогда перпендикуляр к этой прямой, проходящий через выбранный центр, отсекает от соответствующей окружности дугу длины $\pi \geq 2 \pi / n$, которая не пересекается ни с одной из остальных окружностей. Рассмотрим теперь случай, когда центры окружностей не лежат на одной прямой. Из всех выпуклых многоугольников с вершинами в центрах (множество таких многоугольников не пусто, ибо оно содержит хотя бы один треугольник) выберем тот, вне которого лежит наименьшее число этих точек. Докажем, что вне выбранного многоугольника нет ни одной из точек. Действительно, если некоторая точка О лежит вне выбранного многоугольнику то проведем через нее прямую, не пересекающую его, и будем поворачивать ее вокруг точки О до тех пор, пока она не пройдет сначала через первую вершину А, а затем через последнюю вершину В многоугольника (если их оказалось несколько, то выберем наиболее удаленную от точки О; рис). Наконец, все вершины многоугольника, лежащие в треугольнике АОВ, заменим лишь тремя вершинами А, О, В, тогда вне полученного многоугольника будет содержаться меньше точек, чем вне выбранного. Полученное противоречие означает, что существует выпуклый k-угольник ($k \leq n$) с вершинами в центрах, в котором содержатся все центры. Так как сумма внешних углов k-угольника равна $360^{\circ}$, то найдется внешний угол, не меньший $360^{\circ}/k \geq 360^{\circ}/n$. Пусть им оказался внешний угол $B_{1}OA$ угла О k-угольника (см. рис.). Тогда перпендикуляры OL и ОМ к сторонам ОB и OA соответственно отсекают на внешней дуге окружности с центром О дугу LM длины не меньше $2 \pi /n$, так как $\angle LOM = \angle B_{1}OA$. Докажем, что эта дуга не пересекается с другими окружностями. В самом деле, пусть $N$ - произвольная точка дуги LM. Поскольку
$\angle NOA > 90^{\circ}$ и $\angle NOB > 90^{\circ}$,
то окружность с центром $N$ и радиусом 1 имеет с k-угольником единственную общую точку О. Это значит, что центр любой из данных окружностей, проходящих через точку N, должен совпадать с точкой О. Утверждение доказано.
