Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 234
2014-06-07 
Любой ли правильный 2n-угольник можно разбить на ромбы?
Решение:
Докажем более общее утверждение: любой равносторонний 2n-угольннк, противоположные стороны которого параллельны, можно разбить на ромбы. При $n = 2$ утверждение справедливо, ибо равносторонний четырехугольник уже есть ромб. Пусть утверждение доказано для некоторого значения $n \geq 2$ и дан $2(n + 1)$ -угольник
$A_{1}A_{2} \cdots A_{n+1}B_{1} \cdots B_{n}B_{n+1}$
указанного вида. Пусть точки $C_{1} = A_{n+1}, C_{2}, \cdots , C_{n}$ и $C_{n+1} = A_{1}$ являются результатом параллельного переноса точек $B_{1}, \cdots, B_{n}$ и $B_{n+1}$ на вектор $\overrightarrow{B_{n+1}A_{1}}$ (рис.). Тогда имеем равенства
$B_{i}C_{i} = B_{n+1}A_{1} = B_{i}B_{i+1}$ при $i = 1, \cdots, n$,
из которых в силу параллельности всех прямых $B_{i}C_{i}$ вытекает, что все четырехугольники $C_{i}B_{i}B_{i+1}C_{i+1}$ - ромбы, причем
$A_{n}C_{1} = C_{1}C_{2}= \cdots = C_{n}A_{1}$ и $C_{i}C_{i+1} \parallel B_{i}B_{i+1} \parallel A_{i}A_{i+1}$.
Следовательно, 2n - угольник $A_{1} \cdots A_{n}C_{1} \cdots C_{n}$ также имеет указанный вид и его, согласно индукционному предположению, можно разить на ромбы. Утверждение доказано. Таким образом, на вопрос задачи следует дать утвердительный ответ.
Любой ли правильный 2n-угольник можно разбить на ромбы?
Решение:
Докажем более общее утверждение: любой равносторонний 2n-угольннк, противоположные стороны которого параллельны, можно разбить на ромбы. При $n = 2$ утверждение справедливо, ибо равносторонний четырехугольник уже есть ромб. Пусть утверждение доказано для некоторого значения $n \geq 2$ и дан $2(n + 1)$ -угольник
$A_{1}A_{2} \cdots A_{n+1}B_{1} \cdots B_{n}B_{n+1}$
указанного вида. Пусть точки $C_{1} = A_{n+1}, C_{2}, \cdots , C_{n}$ и $C_{n+1} = A_{1}$ являются результатом параллельного переноса точек $B_{1}, \cdots, B_{n}$ и $B_{n+1}$ на вектор $\overrightarrow{B_{n+1}A_{1}}$ (рис.). Тогда имеем равенства
$B_{i}C_{i} = B_{n+1}A_{1} = B_{i}B_{i+1}$ при $i = 1, \cdots, n$,
из которых в силу параллельности всех прямых $B_{i}C_{i}$ вытекает, что все четырехугольники $C_{i}B_{i}B_{i+1}C_{i+1}$ - ромбы, причем
$A_{n}C_{1} = C_{1}C_{2}= \cdots = C_{n}A_{1}$ и $C_{i}C_{i+1} \parallel B_{i}B_{i+1} \parallel A_{i}A_{i+1}$.
Следовательно, 2n - угольник $A_{1} \cdots A_{n}C_{1} \cdots C_{n}$ также имеет указанный вид и его, согласно индукционному предположению, можно разить на ромбы. Утверждение доказано. Таким образом, на вопрос задачи следует дать утвердительный ответ.
