Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 228
2014-06-07 
Диагонали выпуклого пятиугольника $ABCDE$, пересекаясь, образуют пятиугольник
$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}$ и пятиконечную звезду.
а) Найти сумму углов этой звезды при вершинах $A, B, C, D, E$.
б) Найти отношение площади пятиугольника $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}$ к площади пятиугольника $ABCDE$ при условии правильности последнего.
Решение:
а) Сумма внутренних углов пятиугольника $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}$ и десятиугольника $AA_{1}BB_{1}CC_{1}DD_{1}EE_{1}$ равны соответственно $3 \cdot 180^{\circ}$ и $8 \cdot 180^{\circ}$. Кроме того, каждый из углов этого пятиугольника в сумме с углом десятиугольника при той же вершине составляет $360^{\circ}$ (рис.). Поэтому имеем
$\angle A_{1}BB_{1} + \angle B_{1}CC_{1} + \angle C_{1}DD_{1} + \angle D_{1}EE_{1} + \angle E_{1}AA_{1} =$
$= 8 \cdot 180^{\circ} + 3 \cdot 180^{\circ} - 5 \cdot 360^{\circ} = 180^{\circ}$.
б) Если $ABCDE$ - правильный пятиугольник, то из соображений симметрии (относительно биссектрисы любого из его углов) имеем
$AA_{1} = AE_{1} = EE_{1}, AC \parallel ED$,
откуда
$\angle AA_{1}E = \angle A_{1}ED = \angle CEA = \angle EAA_{1}$,
т. е. треугольник $AEA_{1}$ равнобедренный. Обозначим $a = AE, x = A_{1}E_{1}$, тогда из подобия равнобедренных треугольников $A_{1}AE_{1}$ и $A_{1}EA$ (по общему углу при основании) получаем
$AA_{1}/A_{1}E_{1}=A_{1}E=AA_{1}$, т. е. $(a - x)/x = a / (a - x)$,
откуда
$x^{2} – 3ax + a^{2} = 0$.
Поэтому
$x/a = (3 - \sqrt{5})/2$ (ибо $x < a$)
и
$S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}}/S_{ABCDE} = (x/a)^{2} = (3 – sqrt{5})^{2} = (7 – 3 \sqrt{5})/2$.
Диагонали выпуклого пятиугольника $ABCDE$, пересекаясь, образуют пятиугольник
$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}$ и пятиконечную звезду.
а) Найти сумму углов этой звезды при вершинах $A, B, C, D, E$.
б) Найти отношение площади пятиугольника $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}$ к площади пятиугольника $ABCDE$ при условии правильности последнего.
Решение:
а) Сумма внутренних углов пятиугольника $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}$ и десятиугольника $AA_{1}BB_{1}CC_{1}DD_{1}EE_{1}$ равны соответственно $3 \cdot 180^{\circ}$ и $8 \cdot 180^{\circ}$. Кроме того, каждый из углов этого пятиугольника в сумме с углом десятиугольника при той же вершине составляет $360^{\circ}$ (рис.). Поэтому имеем
$\angle A_{1}BB_{1} + \angle B_{1}CC_{1} + \angle C_{1}DD_{1} + \angle D_{1}EE_{1} + \angle E_{1}AA_{1} =$
$= 8 \cdot 180^{\circ} + 3 \cdot 180^{\circ} - 5 \cdot 360^{\circ} = 180^{\circ}$.
б) Если $ABCDE$ - правильный пятиугольник, то из соображений симметрии (относительно биссектрисы любого из его углов) имеем
$AA_{1} = AE_{1} = EE_{1}, AC \parallel ED$,
откуда
$\angle AA_{1}E = \angle A_{1}ED = \angle CEA = \angle EAA_{1}$,
т. е. треугольник $AEA_{1}$ равнобедренный. Обозначим $a = AE, x = A_{1}E_{1}$, тогда из подобия равнобедренных треугольников $A_{1}AE_{1}$ и $A_{1}EA$ (по общему углу при основании) получаем
$AA_{1}/A_{1}E_{1}=A_{1}E=AA_{1}$, т. е. $(a - x)/x = a / (a - x)$,
откуда
$x^{2} – 3ax + a^{2} = 0$.
Поэтому
$x/a = (3 - \sqrt{5})/2$ (ибо $x < a$)
и
$S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}}/S_{ABCDE} = (x/a)^{2} = (3 – sqrt{5})^{2} = (7 – 3 \sqrt{5})/2$.
