Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 227
2014-06-07 
Восемь прямых, соединяющих вершины параллелограмма с серединами несмежных сторон, пересекаясь, образовали восьмиугольник. Доказать, что его площадь составляет шестую часть площади параллелограмма.
Решение:
Обозначим через $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ середины сторон $AB, BC, CD, DA$ параллелограмма $ABCD$ площади $S$, через $K, K_{1}, K_{2}$ - точки пересечения прямой $AC_{1}$ с прямыми $BD_{1}, A_{1}D, CD_{1}$ соответственно. Аналогично получим точки $L,L_{1},L_{2},M, M_{1}, M_{2}, N, N_{2}, N_{2}$ (рис.). Так как параллелограмм $AA_{1}CC_{1} (AA_{1} \parallel CC_{1}, AA_{1} = CC_{1}$) имеет ту же высоту, что и параллелограмм $ABCD$ и вдвое меньшее основание $AA_{1} = AB/2$, то его площадь равна $S/2$. Далее, параллелограмм $KLMN (LM \parallel KN, KL \parallel MN)$ имеет ту же высоту, что и параллелограмм $AA_{1}CC_{1}$ и основание $KN = (2/5) AC_{1}$ (ибо $AK = KN$ из подобия треугольников $AKD_{1}, AND$ и $KN = LM = MC = 2NC_{1}$) поэтому
$S_{KLMN} = (2/5) S_{AA_{1}CC_{1}} = (2/5) \cdot (S/2) = S/5$.
Точка $K_{1}$ является точкой пересечения диагоналей $AC_{1}$ и $DA_{1}$ параллелограмма $AA_{1}C_{1}D$, поэтому $AK_{1} = K_{1}C_{1}$. Точка $K_{2}$ является точкой пересечения медиан $CD_{1}$ и $AC_{1}$ треугольника $ACD$, поэтому $AK_{2} = 2K_{2}C_{1}$. Таким образом, имеем
$KK_{1} = AK_{1} - AK = (1/2) AC_{1} – (2/5)AC_{1} = (1/10) AC_{1} = (1/4) KN$,
$NK_{2} = C_{1}K_{2} – C_{1}N = (1/3) AC_{1} – (1/5) AC_{1} = (2/15)AC_{1} = KN/3$.
Аналогично получаем
$KL_{2} = KL/3$
откуда
$S_{KK_{1}L_{2}} = (1/2) \cdot KK_{1} \cdot KL_{2} \cdot \sin \angle K_{1}KL_{2} =$
$= (1/2) \cdot (1/4) KN \cdot (1/3) KL \cdot \sin \angle NKL = (1/12) S_{NKL} = (1/24) S_{KLMN}=S/120$.
Подобным же способом доказывается, что
$S_{LL_{1}M_{2}}=S_{MM_{1}N_{2}}=S_{NN_{1}K_{2}}=S/120$,
следовательно,
$S_{K_{1}L_{2}L_{1}M_{2}M_{1}N_{2}N_{1}K_{2}} = S/5 – 4 \cdot (S/120) = S/6$
что и требовалось доказать.
Восемь прямых, соединяющих вершины параллелограмма с серединами несмежных сторон, пересекаясь, образовали восьмиугольник. Доказать, что его площадь составляет шестую часть площади параллелограмма.
Решение:
Обозначим через $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ середины сторон $AB, BC, CD, DA$ параллелограмма $ABCD$ площади $S$, через $K, K_{1}, K_{2}$ - точки пересечения прямой $AC_{1}$ с прямыми $BD_{1}, A_{1}D, CD_{1}$ соответственно. Аналогично получим точки $L,L_{1},L_{2},M, M_{1}, M_{2}, N, N_{2}, N_{2}$ (рис.). Так как параллелограмм $AA_{1}CC_{1} (AA_{1} \parallel CC_{1}, AA_{1} = CC_{1}$) имеет ту же высоту, что и параллелограмм $ABCD$ и вдвое меньшее основание $AA_{1} = AB/2$, то его площадь равна $S/2$. Далее, параллелограмм $KLMN (LM \parallel KN, KL \parallel MN)$ имеет ту же высоту, что и параллелограмм $AA_{1}CC_{1}$ и основание $KN = (2/5) AC_{1}$ (ибо $AK = KN$ из подобия треугольников $AKD_{1}, AND$ и $KN = LM = MC = 2NC_{1}$) поэтому
$S_{KLMN} = (2/5) S_{AA_{1}CC_{1}} = (2/5) \cdot (S/2) = S/5$.
Точка $K_{1}$ является точкой пересечения диагоналей $AC_{1}$ и $DA_{1}$ параллелограмма $AA_{1}C_{1}D$, поэтому $AK_{1} = K_{1}C_{1}$. Точка $K_{2}$ является точкой пересечения медиан $CD_{1}$ и $AC_{1}$ треугольника $ACD$, поэтому $AK_{2} = 2K_{2}C_{1}$. Таким образом, имеем
$KK_{1} = AK_{1} - AK = (1/2) AC_{1} – (2/5)AC_{1} = (1/10) AC_{1} = (1/4) KN$,
$NK_{2} = C_{1}K_{2} – C_{1}N = (1/3) AC_{1} – (1/5) AC_{1} = (2/15)AC_{1} = KN/3$.
Аналогично получаем
$KL_{2} = KL/3$
откуда
$S_{KK_{1}L_{2}} = (1/2) \cdot KK_{1} \cdot KL_{2} \cdot \sin \angle K_{1}KL_{2} =$
$= (1/2) \cdot (1/4) KN \cdot (1/3) KL \cdot \sin \angle NKL = (1/12) S_{NKL} = (1/24) S_{KLMN}=S/120$.
Подобным же способом доказывается, что
$S_{LL_{1}M_{2}}=S_{MM_{1}N_{2}}=S_{NN_{1}K_{2}}=S/120$,
следовательно,
$S_{K_{1}L_{2}L_{1}M_{2}M_{1}N_{2}N_{1}K_{2}} = S/5 – 4 \cdot (S/120) = S/6$
что и требовалось доказать.
