Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 231
2014-06-07 
На плоскости нарисован правильный шестиугольник со стороной $a$. Для любого значения $n \in \mathbf{N}$, большего 1, построить с помощью одной линейки отрезок длины $a/n$.
Решение:
По заданному правильному шестиугольнику $A_{0}A_{1}B_{2}C_{2}C_{1}B_{0}$ (рис.) построим с помощью линейки следующие точки: $A_{2}$ и $A_{3}$ - на пересечении прямой $A_{0}A_{1}$ с прямыми $C_{2}B_{2}$ и $C_{1}B_{2}$ соответственно. $C_{3}$ - на пересечении прямых $C_{1},C_{2}$ и $A_{1},B_{2}, B_{1}$ и $B_{3}$ - на пересечении прямой $B_{}B_{2}$ с прямыми $A_{1}C_{1}$ и $A_{3}C_{3}$ соответственно. Тогда имеем
$A_{1}A_{2} = C_{1}C_{2} = a$
(ибо $A_{1}A_{2}C_{2}C_{1}$ - параллелограмм),
$A_{2}A_{3} = C_{1}C_{2} = a$
(ибо $\triangle A_{2}A_{3}B_{2} = \triangle C_{2}C_{1}B_{2}$),
$C_{2}C_{3} = A_{1}A_{2} = a$
(ибо $\triangle C_{2}C_{3}B_{2} = \triangle A_{2}A_{1}B_{2}$) и, наконец,
$B_{1}B_{2} = B_{2}B_{3} = a$
(ибо $A_{1}A_{2}C_{2}C_{1}, A_{2}A_{3}C_{3}C_{2}$ - параллелограммы и $B_{0}B_{2} \parallel A_{0}A_{1}$). Теперь проведем аналогичные построения для правильного шестиугольника $A_{1}A_{2}B_{3}C_{3}C_{2}B_{1}$, являющегося результатом параллельного переноса исходного шестиугольника на вектор $\overrightarrow{A_{1}A_{2}}$, добавив 1 к индексу у каждой буквы (при этом часть точек уже построена). Получим точки $A_{4}, B_{4}, C_{4}$, затем аналогично точки $A_{5}, B_{5}, C_{5}$ и т. д. Когда будет построена точка $B_{n}$, найдем точку О пересечения прямых $AB$ и АХВХ. Из подобия треугольников $A_{}A_{1}O$ и $A_{0}A_{n}B_{n}$ имеем отрезок
$A_{1}O = \frac{A_{n}B_{n} \cdot A_{0}A_{1}}{A_{0}A_{n}} = \frac{a \cdot a}{na} = \frac{a}{n}$,
что и требовалось построить.
Замечание. Справедливо следующее общее утверждение: если дан отрезок и прямая, ему параллельная, то с помощью одной линейки можно разделить этот отрезок на $n$ равных частей.
На плоскости нарисован правильный шестиугольник со стороной $a$. Для любого значения $n \in \mathbf{N}$, большего 1, построить с помощью одной линейки отрезок длины $a/n$.
Решение:
По заданному правильному шестиугольнику $A_{0}A_{1}B_{2}C_{2}C_{1}B_{0}$ (рис.) построим с помощью линейки следующие точки: $A_{2}$ и $A_{3}$ - на пересечении прямой $A_{0}A_{1}$ с прямыми $C_{2}B_{2}$ и $C_{1}B_{2}$ соответственно. $C_{3}$ - на пересечении прямых $C_{1},C_{2}$ и $A_{1},B_{2}, B_{1}$ и $B_{3}$ - на пересечении прямой $B_{}B_{2}$ с прямыми $A_{1}C_{1}$ и $A_{3}C_{3}$ соответственно. Тогда имеем
$A_{1}A_{2} = C_{1}C_{2} = a$
(ибо $A_{1}A_{2}C_{2}C_{1}$ - параллелограмм),
$A_{2}A_{3} = C_{1}C_{2} = a$
(ибо $\triangle A_{2}A_{3}B_{2} = \triangle C_{2}C_{1}B_{2}$),
$C_{2}C_{3} = A_{1}A_{2} = a$
(ибо $\triangle C_{2}C_{3}B_{2} = \triangle A_{2}A_{1}B_{2}$) и, наконец,
$B_{1}B_{2} = B_{2}B_{3} = a$
(ибо $A_{1}A_{2}C_{2}C_{1}, A_{2}A_{3}C_{3}C_{2}$ - параллелограммы и $B_{0}B_{2} \parallel A_{0}A_{1}$). Теперь проведем аналогичные построения для правильного шестиугольника $A_{1}A_{2}B_{3}C_{3}C_{2}B_{1}$, являющегося результатом параллельного переноса исходного шестиугольника на вектор $\overrightarrow{A_{1}A_{2}}$, добавив 1 к индексу у каждой буквы (при этом часть точек уже построена). Получим точки $A_{4}, B_{4}, C_{4}$, затем аналогично точки $A_{5}, B_{5}, C_{5}$ и т. д. Когда будет построена точка $B_{n}$, найдем точку О пересечения прямых $AB$ и АХВХ. Из подобия треугольников $A_{}A_{1}O$ и $A_{0}A_{n}B_{n}$ имеем отрезок
$A_{1}O = \frac{A_{n}B_{n} \cdot A_{0}A_{1}}{A_{0}A_{n}} = \frac{a \cdot a}{na} = \frac{a}{n}$,
что и требовалось построить.
Замечание. Справедливо следующее общее утверждение: если дан отрезок и прямая, ему параллельная, то с помощью одной линейки можно разделить этот отрезок на $n$ равных частей.
