Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 232
2014-06-07 
Доказать, что если для углов равностороннего выпуклого пятиугольника $ABCDE$ выполнены неравенства $\angle A \geq \angle B \geq \angle C \geq \angle D \geq \angle E$, то этот пятиугольник правильный.
Решение:
Так как
$AC = 2 \cdot AB \sin (\angle B / 2) \geq 2 \cdot CD \sin (\angle D / 2 )= CE$
(рис.), то из треугольника $ACE$ имеем $\angle AEC \geq \angle EAC$. С другой стороны, получаем
$\angle EAC = \angle A - (180^{\circ} - \angle B)/2 = \angle A + \angle B /2 -$
$- 90^{\circ} \geq \angle E + \angle D/2 – 90^{\circ} = \angle E – (180^{\circ} - \angle D)/2 = \angle AEC$.
Следовательно, имеет место равенство $\angle EAC = \angle AEC$, которое возможно лишь в случае
$\angle A = \angle E , \angle B /2 = \angle D /2$
т. е.
$\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = \angle E $
Таким образом, пятиугольник $ABCDE$ правильный.
Доказать, что если для углов равностороннего выпуклого пятиугольника $ABCDE$ выполнены неравенства $\angle A \geq \angle B \geq \angle C \geq \angle D \geq \angle E$, то этот пятиугольник правильный.
Решение:
Так как
$AC = 2 \cdot AB \sin (\angle B / 2) \geq 2 \cdot CD \sin (\angle D / 2 )= CE$
(рис.), то из треугольника $ACE$ имеем $\angle AEC \geq \angle EAC$. С другой стороны, получаем
$\angle EAC = \angle A - (180^{\circ} - \angle B)/2 = \angle A + \angle B /2 -$
$- 90^{\circ} \geq \angle E + \angle D/2 – 90^{\circ} = \angle E – (180^{\circ} - \angle D)/2 = \angle AEC$.
Следовательно, имеет место равенство $\angle EAC = \angle AEC$, которое возможно лишь в случае
$\angle A = \angle E , \angle B /2 = \angle D /2$
т. е.
$\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = \angle E $
Таким образом, пятиугольник $ABCDE$ правильный.
