Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 225
2014-06-07 
Доказать, что если для некоторой точки О, лежащей внутри четырехугольника ABCD площади треугольников ABO, ВСО, СDO, DAO одинаковы, то эта точка лежит хотя бы на одной из диагоналей АС или BD.
Решение:
Пусть диагональ АС пересекает прямые ОВ и OD в точках Р и Q соответственно (рис.). Так как площади треугольников АОВ и СОВ равны, то равны и их высоты к общей стороне OB, а значит, АР = РС. Аналогично, имеем AQ = QC, откуда P = Q. Поэтому, если О $\neq$ Р, то точки В, Р, О, D лежат на одной прямой, т. е. точка О лежит на диагонали BD; если же O = Р, то точка О лежит на диагонали АС.
Доказать, что если для некоторой точки О, лежащей внутри четырехугольника ABCD площади треугольников ABO, ВСО, СDO, DAO одинаковы, то эта точка лежит хотя бы на одной из диагоналей АС или BD.
Решение:
Пусть диагональ АС пересекает прямые ОВ и OD в точках Р и Q соответственно (рис.). Так как площади треугольников АОВ и СОВ равны, то равны и их высоты к общей стороне OB, а значит, АР = РС. Аналогично, имеем AQ = QC, откуда P = Q. Поэтому, если О $\neq$ Р, то точки В, Р, О, D лежат на одной прямой, т. е. точка О лежит на диагонали BD; если же O = Р, то точка О лежит на диагонали АС.
