ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ углы при вершинах $B, E$ прямые и $\angle BAC = \angle EAD$. Доказать, что если диагонали $BD$ и $CE$ пересекаются в точке О, то прямые $AO$ и $BE$ перпендикулярны.


Решение:



Пусть продолжение перпендикуляра АН к прямой BE пересекает прямые СЕ и BD в точках Р и Q соответственно. Докажем, что $AP=AQ$, откуда будут следовать равенства Р = Q = 0. Опустим перпендикуляр к прямой BE (рис.), тогда из подобия прямоугольных треугольников СКВ, ВНА (с попарно перпендикулярными сторонами $AB \perp BC, CK \perp BH$) имеем
$\frac{CK}{BH} = \frac{BK}{AH} = \frac{BC}{AB}= tg \: \angle BAC$,
а из подобия прямоугольных треугольников ЕНР. ЕКС получаем
$PH = \frac{EH \cdot CK}{EK} = \frac{EH \cdot BH \cdot tg \: \angle BAC}{EB - BK} = \frac{EH \cdot BH \cdot tg \: \angle BAC}{EB – AH \cdot tg \: \angle BAC}$.
Аналогично доказывается равенство
$QH = \frac{BH \cdot EH \cdot tg \: \angle EAD}{EB – AH \cdot tg \: \angle EAD}$,
откуда с учетом равенства $\angle BAC= \angle EAD$ получаем РН = QH. Утверждение доказано.