Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 233
2014-06-07 
а) Доказать, что если вершины одного выпуклого n-угольника лежат в другом равном ему n-угольнике, то вершины этих n-угольников совпадают.
б) Верно ли утверждение а) для невыпуклых многоугольников?
в) Для любого ли невыпуклого многоугольника утверждение а) неверно?
Решение:
Рис.1
Рис.2
а) Если вершины первого многоугольника лежат во втором, равном ему выпуклом многоугольнике, то первый многоугольник полностью лежит во втором. Из равенства их площадей следует, что они совпадают.
б) Неверно (см. рис.1, на котором изображены равные невыпуклые четырехугольники АВСЕ и ACDE).
в) Рассмотрим невыпуклый четырехугольник ABCD, в котором вершина С является центром равностороннего треугольника ABD (рис.2). Тогда, если вершины равного ему четырехугольника $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ лежат в четырехугольнике ABCD, то вершины равностороннего треугольника $A^{\prime}B^{\prime}D^{\prime}$ лежат в треугольнике ABD. Согласно утверждению п. а) вершины этих треугольников совпадают, следовательно, совпадают и вершины С и С. Таким образом, ответ на вопрос п. в) отрицателен.
а) Доказать, что если вершины одного выпуклого n-угольника лежат в другом равном ему n-угольнике, то вершины этих n-угольников совпадают.
б) Верно ли утверждение а) для невыпуклых многоугольников?
в) Для любого ли невыпуклого многоугольника утверждение а) неверно?
Решение:
Рис.1
Рис.2
а) Если вершины первого многоугольника лежат во втором, равном ему выпуклом многоугольнике, то первый многоугольник полностью лежит во втором. Из равенства их площадей следует, что они совпадают.
б) Неверно (см. рис.1, на котором изображены равные невыпуклые четырехугольники АВСЕ и ACDE).
в) Рассмотрим невыпуклый четырехугольник ABCD, в котором вершина С является центром равностороннего треугольника ABD (рис.2). Тогда, если вершины равного ему четырехугольника $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ лежат в четырехугольнике ABCD, то вершины равностороннего треугольника $A^{\prime}B^{\prime}D^{\prime}$ лежат в треугольнике ABD. Согласно утверждению п. а) вершины этих треугольников совпадают, следовательно, совпадают и вершины С и С. Таким образом, ответ на вопрос п. в) отрицателен.
