Доказать, что для любого треугольника ABC существуют 3 окружности одинакового радиуса, одна из которых касается сторон АВ и ВС, другая - сторон ВС и АС, третья - сторон АС и АВ, а все 3 окружности имеют ровно одну общую точку.
Подробнее
Две окружности касаются друг друга в точке Р. Прямая, касающаяся одной из них в точке А, пересекает другую в точках В и С. Доказать, что прямая РА является биссектрисой угла ВРС или смежного с ним.
Подробнее
Окружность, центр которой лежит на стороне $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$, касается его равных сторон $AB$ и $AC$. Доказать, что отрезок с концами $P$ и $Q$, лежащими на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно, касается окружности тогда и только тогда, когда $BP \cdot CQ = BC^{2}/4$.
Подробнее
На диаметре $AB$ полуокружности взяты точки $K$ и $L$, а на полуокружности - точки $M, N$ и $C$ так, что четырехугольник $KLMN$ является квадратом, площадь которого равна площади треугольника $ABC$. Доказать, что центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности совпадает с точкой пересечения одной из сторон квадрата и одной из прямых, соединяющих вершину $N$ или $M$ с вершиной $A$ или $B$.
Подробнее
Точка М лежит на окружности, описанной около данного равностороннего треугольника $ABC$. Доказать, что величина $MA^{4} + MB^{4} + MC^{4}$ не зависит от выбора точки $M$.
Подробнее
Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, в котором $AB = AD$ и $CB = CD$. Доказать, что:
а) в него можно вписать окружность;
б) около него можно описать окружность тогда и только тогда, когда $AB \perp BC$;
в) если $AB \perp BC$, то квадрат расстояния между центром вписанной окружности (радиуса $r$) и центром описанной окружности (радиуса $R$) равен
$R^{2} + r^{2} – r \sqrt{r^{2}+4R^{2}}$.
Подробнее
Сторона ВС треугольника ABC касается вписанной в него окружности в точке D. Доказать, что центр окружности лежит на прямой, проходящей через середины отрезков ВС и AD.
Подробнее
Две окружности касаются друг друга. В большую окружность вписан равносторонний треугольник, из вершин которого проведены касательные к меньшей окружности. Доказать, что длина одной из трех касательных равна сумме длин двух других.
Подробнее
Из точки $P$, лежащей на дуге $BC$ окружности, описанной около треугольника $ABC$, опущены перпендикуляры $PK, PL$ и $PM$ на прямые $BC, AC$ и $AB$ соответственно. Доказать, что
$\frac{BC}{PK} = \frac{AC}{PL} + \frac{AB}{PM}$
Подробнее
а) Пусть точка О – центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности, а точка $D$ - отличная от $A$ точка пересечения прямой $AO$ с описанной около треугольника $ABC$ окружностью. Доказать, что $DB = DC = DO$.
б) Доказать, что если $ABCD$ - вписанный четырехугольник, то центры $A_{2}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ окружностей, вписанных в треугольники $BCD, CDA, DAB, ABC$ соответственно, являются вершинами прямоугольника.
Подробнее
Доказать, что вписанный четырехугольник $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$ равен четырехугольнику, вершины которого $H_{1}, H_{2}, H_{3}, H_{4}$ являются точками пересечения высот треугольников
$A_{2}A_{3}A_{4}, A_{1}A_{3}A_{4}, A_{1}A_{2}A_{4}, A_{1}A_{2}A_{3}$
соответственно.
Подробнее
На плоскости расположены 100 точек. Доказать, что существует конечное множество кругов, удовлетворяющее следующим трем условиям:
1) любая из данных точек лежит внутри одного из кругов;
2) любые две точки разных кругов удалены друг от друга более чем на 1;
3) сумма диаметров всех кругов меньше 100.
Подробнее
На плоскости расположены $2n + 3$ точки, из которых никакие три не лежат на одной прямой и никакие четыре не лежат на одной окружности. Существует ли окружность, проходящая через какие-либо три из этих точек и ограничивающая круг, внутри которого лежит ровно половина остальных точек?
Подробнее
Доказать, что у любого выпуклого многоугольника найдется такая тройка соседних вершин, что проходящая через них окружность ограничивает круг, покрывающий весь многоугольник.
Подробнее
Среди $n > 1$ пар противоположных сторон вписанного 2n-угольннка выбрана $n – 1$ пара параллельных сторон. Найти все значения $n$, для которых стороны оставшейся при этом пары обязательно параллельны.
Подробнее
