ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
В шестиугольнике $ABCDEF$ углы при вершинах А, С, Е равны и не превосходят $180^{\circ}$, причем
$\angle ABF = \angle CBD, \angle AFB = \angle EFD$.
Доказать, что если точка $A^{\prime}$ симметрична вершине $A$ относительно диагонали BF и не лежит на прямой СE, то четырехугольник $A^{\prime}CDE$ - параллелограмм.


Решение:



Заметим, что треугольники $A^{\prime}EF$ и $BDF$ подобны. Действительно, имеем (рис.)
$\angle EFD = \angle BFA = \angle BFA^{\prime}, \angle FED = \angle FAB = \angle FA^{\prime}B$,
поэтому
$\angle A^{\prime}FE = |\angle EFB - \angle A^{\prime}FB| = |\angle EFB - \angle EFD | = \angle DFB$,
а из подобия треугольников $EDF$ и $A^{\prime}BF$ получаем
$EF/DF = A^{\prime}F/BF$.
Таким же образом доказывается подобие треугольников $A^{\prime}CB$ и $BDF$. Следовательно, получаем
$\triangle A^{\prime}EF \backsim \triangle BCA^{\prime}$
откуда
$\frac{A^{\prime}C}{EF} = \frac{A^{\prime}B}{A^{\prime}F} = \frac{DE}{EF}$ т.е. $A^{\prime}C = DE$
Аналогично, $A^{\prime}E = CD$, поэтому $A^{\prime}CDE$ - параллелограмм.