Доказать, что для любого простого числа $p > 5$ уравнение
$x^{4} + 4^{x} = p$
в целых числах не имеет решений.
Подробнее
Доказать, что для любого значения
$n \in \mathbf{N}$ уравнение
$x^{2}_{1}+ \cdots + x^{2}_{n}=y^{2}$
в натуральных числах имеет решение.
Подробнее
Доказать, что для любых значений $a,b \in \mathbf{N}$ уравнение $ax^{2} +by^{2} = 1$ в рациональных числах либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений.
Подробнее
Доказать, что для любых взаимно простых чисел $a, b \in \mathbf{Z}$ уравнение $ax^{2} + by^{2} = z^{2}$ в целых числах имеет бесконечно много решений, удовлетворяющих условию $(x, y) = 1$.
Подробнее
Доказать, что ни при каком значении $n \in \mathbf{N}$, большем 1, уравнение $x^{n} + y^{n} = z^{n}$ в натуральных числах не имеет решений, удовлетворяющих условиям $x \leq n, y \leq n$.
Подробнее
Решить уравнение
$x^{x+y}=(x+y)^{y}$
в положительных рациональных числах.
Подробнее
Доказать, что если число $n \in \mathbf{N}$ нечетное, то уравнение
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{4}{n}$
в натуральных числах имеет решение тогда и только тогда, когда
$n = m (4k-1)$ при $m, k \in \mathbf{N}$.
Подробнее
Доказать, что множество всех значении $n \in \mathbf{N}$, для которых уравнение
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{n}$
в натуральных числах не имеет решений, не может быть представлено в виде объединения конечного множества арифметических прогрессий (как конечных, так и бесконечных).
Подробнее
Что больше:
$(17091982!)^{2}$ или $17091982^{17091982}$ ?
Подробнее
Найти все числа $n \in \mathbf{N}$, для которых при каком-либо значении
$k \in {1;2; \cdots ; n-1}$
имеет место равенство
$2C^{k}_{n}=C^{k-1}_{n}+C^{k+1}_{n}$.
Подробнее
Доказать, что для любого значения $n in \mathbf{N}$ справедливо равенство
$\sum_{k=0}^{n} \frac{(2n)!}{(k!)^{2}((n-k)!)^{2}} = (C^{n}_{2n})^{2}$.
Подробнее
Для заданного значения $m \in \mathbf{N}$:
а) доказать, что число $\frac{1}{m+1} C^{m}_{2m}$ является натуральным;
б) найти наименьшее значение $k \in \mathbf{N}$, для которого число $\frac{k}{n+m+1} C^{n+m}_{2n}$ является натуральным при каждом натуральном значении $n \geq m$.
Подробнее
Доказать, что для любых натуральных значений $n \geq k$ наибольший общий делитель чисел $C^{k}_{n}, C^{k}_{n+1}, \cdots , C_{n+k}^{k}$ равен 1.
Подробнее
Доказать, что для любых значений $m, n \in \mathbf{N}$ число
$S_{m,n}=1+ \sum^{m}_{k=1} (-1)^{k} \frac{(n+k+1)!}{n!(n+k)}$
делится на $m!$, но при некоторых значениях $m,n \in \mathbf{N}$ число $S_{m,n}$ делится на $m!(n+1)$.
Подробнее