Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 64
2014-06-07 
Доказать, что ни при каком значении $n \in \mathbf{N}$, большем 1, уравнение $x^{n} + y^{n} = z^{n}$ в натуральных числах не имеет решений, удовлетворяющих условиям $x \leq n, y \leq n$.
Решение:
Предположим, что тройка чисел $x, y, z \in \mathbf{N}$ удовлетворяет уравнению при $n > 1$ и неравенствам $x \leq n, y \leq n$. При этом без ограничения общности можно считать, что $x \leq y$. Тогда, используя бином Ньютона, получаем
$(y+1)^{n}=y^{n} + n y^{n-1}+ \cdots + 1 > y^{n}+xy^{n-1} \geq y^{n}+x^{n}=z^{n}>y^{n}$.
Поэтому $y+1> z >y$, что невозможно ни при каких значениях $y,z \in \mathbf{Z}$.
Доказать, что ни при каком значении $n \in \mathbf{N}$, большем 1, уравнение $x^{n} + y^{n} = z^{n}$ в натуральных числах не имеет решений, удовлетворяющих условиям $x \leq n, y \leq n$.
Решение:
Предположим, что тройка чисел $x, y, z \in \mathbf{N}$ удовлетворяет уравнению при $n > 1$ и неравенствам $x \leq n, y \leq n$. При этом без ограничения общности можно считать, что $x \leq y$. Тогда, используя бином Ньютона, получаем
$(y+1)^{n}=y^{n} + n y^{n-1}+ \cdots + 1 > y^{n}+xy^{n-1} \geq y^{n}+x^{n}=z^{n}>y^{n}$.
Поэтому $y+1> z >y$, что невозможно ни при каких значениях $y,z \in \mathbf{Z}$.
