Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 75
2014-06-07 
Доказать, что для любых натуральных значений $n \geq k$ наибольший общий делитель чисел $C^{k}_{n}, C^{k}_{n+1}, \cdots , C_{n+k}^{k}$ равен 1.
Решение:
Пусть числа $ C^{k}_{n}, C^{k}_{n+1} \cdots C^{k}_{n+k}$ имеют общий делитель $d \in \mathbf{N}$. Тогда числа
$ C^{k-1}_{n}= C^{k}_{n+1}- C^{k}_{n}, C^{k-1}_{n+1}= C^{k}_{n+2}- C^{k}_{n+1}, \cdots , C^{k-1}_{n+k-1} = C^{k}_{n+k}- C^{k}_{n+k-1}$
также имеют общий делитель $d$. Аналогично получаем, что числа
$ C^{k-2}_{n}, \cdots , C^{k-2}_{n+k-1}$
имеют общий делитель $d$. Продолжая аналогичные рассуждения и далее, получим в итоге, что число $ C^{0}_{n} = 1$ делится на $d$. Следовательно, $d=1$.
Доказать, что для любых натуральных значений $n \geq k$ наибольший общий делитель чисел $C^{k}_{n}, C^{k}_{n+1}, \cdots , C_{n+k}^{k}$ равен 1.
Решение:
Пусть числа $ C^{k}_{n}, C^{k}_{n+1} \cdots C^{k}_{n+k}$ имеют общий делитель $d \in \mathbf{N}$. Тогда числа
$ C^{k-1}_{n}= C^{k}_{n+1}- C^{k}_{n}, C^{k-1}_{n+1}= C^{k}_{n+2}- C^{k}_{n+1}, \cdots , C^{k-1}_{n+k-1} = C^{k}_{n+k}- C^{k}_{n+k-1}$
также имеют общий делитель $d$. Аналогично получаем, что числа
$ C^{k-2}_{n}, \cdots , C^{k-2}_{n+k-1}$
имеют общий делитель $d$. Продолжая аналогичные рассуждения и далее, получим в итоге, что число $ C^{0}_{n} = 1$ делится на $d$. Следовательно, $d=1$.
