ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Решить уравнение
$x^{x+y}=(x+y)^{y}$
в положительных рациональных числах.


Решение:


Пусть положительные $x,y \in \mathbf{Q}$ удовлетворяют исходному уравнению. Докажем, что тогда положительное число
$z=y \in \mathbf{Q}$
является натуральным. Из уравнения получаем
$x^{x+xz}=(x+xz)^{xz},$ т.е. $x^{1+z}=x^{z}(1+z)^{z}$,
поэтому имеем равенство
$x=(1+z)^{z}$.
Обозначая
$z=p/q,x=m/n$
где
$p,q,m,n \in \mathbf{N}$ и $(p,q)=(m,n)=1$.
получаем соотношение
$(m/n)^{q}=((p+q)/q)^{p}$, т. е. $m^{q}q^{p}=n^{q}(p+q)^{p}$.
Поскольку $(m^{q},n^{q})=1$, то $q^{p} \vdots n^{q}$. С другой стороны,
$((p+q)^{p},q^{p})=(p+q,q)^{p}=(p,q)^{p}=1$,
поэтому $n^{q} \vdots q^{p}$. Таким образом, имеет место равенство $q^{p}=n^{q}$, из которого следует, что если $q > 1$, то в разложении числа $q^{p}$ на простые множители каждый из простых делителей имеет степень, кратную как числу $p$, так и числу $q$, а значит, и их произведению $pq$ (так как числа $p$ и $q$ взаимно просты). Следовательно, в разложении числа $q$ на простые множители каждый из простых делителей имеет степень, кратную $q$, что невозможно (ибо $q < 2^{q}$ при любом $q \in \mathbf{N}$). Итак, доказано, что $q=1$. Поэтому получаем
$x=(1+z)^{z},y=z(1+z)^{z}$ при $z \in \mathbf{N}$.
а проверка показывает, что все полученные пары значений $x,y \in \mathbf{N}$ удовлетворяют исходному уравнению.