Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 76
2014-06-07 
Доказать, что для любых значений $m, n \in \mathbf{N}$ число
$S_{m,n}=1+ \sum^{m}_{k=1} (-1)^{k} \frac{(n+k+1)!}{n!(n+k)}$
делится на $m!$, но при некоторых значениях $m,n \in \mathbf{N}$ число $S_{m,n}$ делится на $m!(n+1)$.
Решение:
При каждом значении $n \in \mathbf{N}$ докажем индукцией по $m \in \mathbf{N}$ справедливость равенства
$S_{m,n}=(-1)^{m} \frac{(n+m)!}{n!}$,
При $m=1$ имеем верное утверждение
$S_{1,n}= 1 - \frac{(n+2)!}{n!(n+1)} = 1 – (n+2)= - \frac{(n+1)!}{n!}$,
Пусть для некоторого значения $m \in \mathbf{N}$ равенство уже доказано, тогда имеем.
$S_{m+1,n}=S_{m,n} + (-1)^{m+1} \frac{(n+m+2)!}{n!(n+m+1)} =$
$= (-1)^{m} \frac{(n+m)!}{n!} + (-1)^{m+1} \frac{(n+m)!(n+m+2)}{n!} =$
$= (-1)^{m+1} \frac{(n+m)!}{n!} (-1 + n + m +2) = (-1)^{m+1} \frac{(n+m+1)!}{n!}$,
т. е. утверждение справедливо и для значения $m+1$. Таким образом, число
$S_{m,n}=(-1)^{m} \frac{(n+m)!}{n!m1} m! = (-1)^{m} C^{m}_{n+m} m!$
делится на $m!$, ибо $ C^{m}_{n+m} \in \mathbf{N}$. Наконец, заметим, что при $n=2, m = 3$ число $S_{m,n} = -60$ не делится на $m!(n+1) = 18$. Задача решена.
Доказать, что для любых значений $m, n \in \mathbf{N}$ число
$S_{m,n}=1+ \sum^{m}_{k=1} (-1)^{k} \frac{(n+k+1)!}{n!(n+k)}$
делится на $m!$, но при некоторых значениях $m,n \in \mathbf{N}$ число $S_{m,n}$ делится на $m!(n+1)$.
Решение:
При каждом значении $n \in \mathbf{N}$ докажем индукцией по $m \in \mathbf{N}$ справедливость равенства
$S_{m,n}=(-1)^{m} \frac{(n+m)!}{n!}$,
При $m=1$ имеем верное утверждение
$S_{1,n}= 1 - \frac{(n+2)!}{n!(n+1)} = 1 – (n+2)= - \frac{(n+1)!}{n!}$,
Пусть для некоторого значения $m \in \mathbf{N}$ равенство уже доказано, тогда имеем.
$S_{m+1,n}=S_{m,n} + (-1)^{m+1} \frac{(n+m+2)!}{n!(n+m+1)} =$
$= (-1)^{m} \frac{(n+m)!}{n!} + (-1)^{m+1} \frac{(n+m)!(n+m+2)}{n!} =$
$= (-1)^{m+1} \frac{(n+m)!}{n!} (-1 + n + m +2) = (-1)^{m+1} \frac{(n+m+1)!}{n!}$,
т. е. утверждение справедливо и для значения $m+1$. Таким образом, число
$S_{m,n}=(-1)^{m} \frac{(n+m)!}{n!m1} m! = (-1)^{m} C^{m}_{n+m} m!$
делится на $m!$, ибо $ C^{m}_{n+m} \in \mathbf{N}$. Наконец, заметим, что при $n=2, m = 3$ число $S_{m,n} = -60$ не делится на $m!(n+1) = 18$. Задача решена.
